8 Дарс Мавзуси: Комбинаториканинг асосий тушунчалари

3 * 4….. * n
Мисол: 0! = 1
1!= 1
2! = 1 *2 = 2
3! = 1 * 2 * 3 = 6
4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24



Мисол:
Мисол: А,В,С,Д харфларининг 2та харфлар оркали уринлаштиришлар сонини аникланг.

Теорема: n та элементдан олиб тузилган барча урин алмаштиришлар сони P_n = n! булади.
Мисол: P₅=5! = 1 * 2 * 3 *4 * 5 = 120
формула билан хисобланади. Бу ерда n m
Мисол: а) 1,2,3 сонлар берилган уларни 2 талаб группалашлар сонини топинг. : 12, 13, 23
3! 1 * 2 * 3
= = = 3 та
2! (3 – 2)! 2 * 3
б) а, b, с, d; харфлар берилган, уларни 3 талаб группалашлар сонини топинг. : аbс, abd, bcd, acd
4! 1 * 2 * 3 * 4
= = = 4
3! (4-3)! 1 * 2 * 3 *1
6! – 4!
Мисоллар: Хисобланг: а)
3!
5! 5! * 3!
б ) в)
3! + 4! 6!
Касрни кискартиринг:
(n + 1)! n! (n – 1)!
а ) б) c)
n n (n – 1) (n + 2)!
1 1 n!
e ) - d)
n! (n + 1)! (n – 2)!
Хисобланг: а) б) с)
Хисобланг: а) б) с) д) е) ё)
ж)

Ньютон биноми – икки хаднинг даражасини якка хадлар йигиндиси куринишида ифодаловчи формуланинг номи.

Икки хаднинг квадрати учун: (а+b)²=a²+2ab+b² формулани кадимги Бобил метематиклари билишган.
Агар бу формулани иккала кисмини хам (a+b) га купайтириб кавсларни очсак (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ хосил булади. Буни ва хоказо давом эттирсак
(a+b)ⁿ=aⁿ+ (1)
формула уринли бу ерда С⁰_n, С¹_n, С²_n, ….С^m-1_m, С^m_m=1 лар биномиал коэффициентлар дейилади.
Бу тасдик Паскалдан анча олдин XI-XII асрда яшаган Урта Осиёлик шоир ва математик Умар Хайёмга маълум булган.
(1) формула Ньютон биноми формуласи дейилади.
Ньютон биноми формуласи хоссалари.

1. 
   a нинг курсаткичи камайиб боради, b нинг курсаткичи ортиб боради. Уларнинг курсаткичлари йигиндиси m га тенг.
   
2. 
   Ёйилма m+1 та хаддан иборат.
   
3. 
   Биномиал коэффициентлар йигиндиси 2^m га тенг.
   
4. 
   Ёйилманинг исталган хади T_n+1=C_mⁿaⁿb^m-n дан иборат.
   
5. 
   Ёйилманинг четларидан тенг узокликда турган хадларнинг коэффициентлари узаро тенг.
   

Мисол: - 1. n та харфдан тузилган урин алмаштиришлар сонининг n+2 та харфидан тузилган урин алмаштиришлар сонига нисбати 0,1 нинг 3га нисбати каби, n топилсин.
Ечиш: масала шартига кура P_n/P_n+2 = 0,1/3
ёки 1*2*3…..*n 1
1*2*3*…..*n(n+1)(n+2) 30

бундан (n+1)(n+2)=30. Бу тенглама илдизлари n₁=4, n₂=-7. Иккинчи, яъни

n₂=-7 бегона илдиз. Жавоб: n=4.

Масала: (а/х-х^1/2)¹⁶ бином ёйилмасининг урта хади топилсин.

Ечиш: Куйидаги формуладан фойдаланамиз:

Т_k+1=

Масалада урта хад k=8, m=16, a=a/x, x=x^1/2

T _k+1= =
Мисоллар: а) n та элементдан 3 тадан олиб тузилган группалар сони n+2 элементдан 4 тадан олиб тузилган группалар сонидан 5 марта кичик. n топилсин.
б) бином ёйилмасининг а⁷ катнашган хадининг номерини топинг.
с) тенгламадан х номаълумларини топинг.
d) Хисобланг: a) б)
Ньютон биноми ёрдамида хисобланг
1) ( )⁶, 2) ( )⁸, 3) ( )⁷, С¹⁰₂₆=