8-amaliy mashg’ulot. Bul algebrasi. Ikkilik manti

Ta’rif 6. Agar barcha mantiqiy imkoniyatlarda α formula faqat 1 ga teng qiymat qabul qilsa, α formula ayniy haqiqat yoki tavtologiya deyiladi va α≡1 yoki |=α kabi belgilanadi.
n ta o`zgaruvchi qatnashgan formulaning mumkin bo`lgan barcha mantiqiy imkoniyatlarini yozish uchun qabul qilingan tartib mavjud. Bu ketma-ketlik (0,0,..,0,0) dan boshlanadi. Har bir keyingi qatorda ikkilik sanoq sistemasida oldingi qatordagi qiymatlarga 1 ni qo`shamiz va nihoyat hamma qiymatlar 1 lardan iborat bo`lganda ishni tugatamiz: (1,1,..,1,1).
Ikkilik sanoq sistemasida qo`shish qoidasini eslatib o`tamiz:
0+0=0,
0+1=1+0=1,
1+1=10.
Agar o’zgaruvchilar soni 3 ta yoki 4 ta bo’lsa, u holda mos ravishda 8 ta yoki 16 ta qator hosil bo’ladi:
n=3 bo`lsa n=4 bo`lsa
A B C A B C D

0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1

0 1 0 0 0 1 0

0 1 1 0 0 1 1

1 0 0 0 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1

1 1 0 0 1 1 0

1 1 1 0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 0 1

1 1 1 0

1 1 1 1

Misol 2. α(A, B)= ¬ (A&B) →(⌐A\/ ⌐B) formulaning tavtologiya bo’lish yoki bo’lmasligini rostlik jadvalini tuzib tekshirib ko’rish mumkin:

A	B	¬ (A&B)	⌐A	⌐B	⌐A\/ ⌐B	α(A, B)= ¬(A&B) →(⌐A\/ ⌐B)
0	0	1	1	1	1	1
0	1	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	1	1
1	1	0	0	0	0	1

Teorema 2. Agar α va α→ β formulalar tavtologiya bo’lsa, u holda β ham tavtologiya bo’ladi.
Isboti. Teskarisini faraz qilish yo’li bilan isbotlaymiz, ya`ni β tavtologiya bo’lmasin, u holda β ning barcha qiymatlari 0 bo’ladi. Lekin α tavtologiya bo’lgani uchun har doim 1 qiymat qabul qiladi. Bundan α→ β=0 ekenligi kelib chiqadi, bu esa α→ β tavtologiya degan teorema shartiga zid. Biz qarama – qarshilikka duch keldik. Demak, β tavtologiya bo’lar ekan. Teorema isbotlandi.


Ta’rif 7. Agar barcha mantiqiy imkoniyatlarda α formula faqat 0 ga teng qiymat qabul qilsa, α formula ayniy yolg‘on yoki ziddiyat deyiladi va α≡0 kabi belgilanadi.
Misol 3. α(A)= ⌐A~A formulaning ziddiyat ekanligini rostlik jadvalini tuzib tekshirib ko’ramiz:

A	⌐A	α(A)= ⌐A~A
0	1	0
1	0	0

2. Mustaqil bajarish uchun masala va topshiriqlar


1.1. Quyidagi gaplarning qaysi birlari mulohaza bo’ladi:
1) Ostona – Qozog’iston Respublikasining poytaxti;
2) ;
3) Amudaryo Orol dengiziga quyiladi;
4) .
1.2. Quyidagi mulohazalarning chin yoki yolg’on ekanligini aniqlang:
1) ;
2) ;
1.3.(1.9. L)Quyidagi implikatsiyalarning qaysi birlari chin bo’ladi:
1) agar bo’lsa, u holda ;
2) agar bo’lsa, u holda ;
3) agar bo’lsa, u holda ;
4) agar bo’lsa, u holda ;
1.4.(1.4. L) Quyidagi muloxazalarning chin yoki yolgon ekanligi-ni aniklang:
1) 2{x|2x³-3x²+1=0, xR};
2)
3)
4) {1}N;
5) {1}P(N), qaerda P(N) – N to‘plamning barcha qism to‘plamlaridan iborat to‘plam.;
6) ;
7) {};
8) {1,-1,2}{x| x³+x²-x-1=0, xZ};
9) {x| x³+x²-x-1=0, xZ}{1,-1,2};
10) N;
11) {};
12) {}{,{}}.
1.5.(1.13.L). 1) ; 2)
tengliklarni qanoatlantiruvchi x va y larning mantiqiy qiymatlarini toping.
1.6. Quyidagi mulohazalar orasidagi oddiy va murakkablarini ko’rsating. Murakkab mulohazadagi mantiqli bog’lovchilarni ajrating:
1) 25 soni 5 ga bo‘linmaydi;
2) 12 soni 4 va 3 ga bo‘linadi;
3) Agar 140 soni 10 ga bo‘linsa, u holda u 5 ga ham bo‘linadi;
4) 9 soni 63 sonining bo’luvchisidir;
5) 1225 soni 7 soniga, faqat va faqat shundagina bo‘linadi, qachon 35 soni 7 soniga bo‘linsa.
1.7. Elementar mulohazalarni harflar bilan belgilab, quyidagi muloxazalarni mantiq algebrasining simvollari orqali ifodalang:
1) 9 soni 3 ga karrali va 12 soni 3 ga karrali;
2) 9 soni 3 ga karrali va 21 soni 7 ga karrali emas;
3) =25 yoki =-25;
4) 45;
5) Agar 522 soni 9 va 5 ga bo‘linsa, u holda u 45 bo‘linadi.
1.8. x va y lar quyidagi mulohazalar bo‘lsin:
x – “Men universitetda o‘qiyman”,
y – “Men matematik mantiq va diskret matematika fanini yoqtiraman”.
Quyidagi murakkab mulohazalarni o‘qing:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) .
1.9.(1.10L). Qaysi hollarda quyida keltirilgan ma’lumotlar noto‘g’ri.
1. x=0, x&y=1; 2. x=1, xVy=0;
3. x=1, x&y=1; 4. x=1, xVy=1;
5. x=0, x&y=1; 6. x=0, xVy=1;
7. x=0, x&y=0; 8. x=0, xVy=0;
1.10(1.11L). x, y, z, t lar orqali mos ravishda «5-tub son», «5-murakkab son», «6-tub son», «6-murakkab son» mulohazalarni belgilab olamiz:
1) quyidagi mulohazalarning qaysi birlari chin va yolg’on ekanligini aniqlang:
xz, xt, yz, yt.
2) quyidagi xvz, xvt, yvz, yvt mulohazalarning qaysi birlari chin va yolg’on?
3) quyidagi mulohazalarning qaysi birlari chin va yolg’on?
1.11(1.14L).
1) xy chin va xy yolg’on bo‘lsin. U holda yx ning qiymati haqida nima deyish mumkin?
2) xy chin qiymatga ega bo‘lsin. U holda va ekvivalensiyalarning qiymatlari haqida nima deyish mumkin?
3) x o‘zgaruvchining qiymati 1 ga teng bo‘lsin. U holda implikatsiyalarning qiymatlari nimaga teng bo‘ladi?
4) xy ning qiymati 1 ga teng bo‘lsin. U holda formulalarning qiymatlari nimaga teng bo‘ladi?
1.12(1.15L). x=0, y=1, z=1 bo‘lsin. Quyidagi murakkab mulohazalarning mantiqiy qiymatlarini aniqlang:
1) x(yz); 2) (xy) y;
3) x(yz); 4) xyz;
5) (xy)(xv); 6) ((xvy) z)((xz)V(yz)).
1.13(1.16L). , , , (bu yerda yo –yolg’on mulohaza) murakkab mulohazalarning chinlik jadvallari implikatsiyaning chinlik jadvali bilan bir ekanligini ko‘rsating.
1.14(1.17L).
1) Inkor va diz’yunksiya amallari orqali shunday formula tuzingki, uning chinlik jadvali implikatsiyaning chinlik jadvali bilan bir xil bo‘lsin.
2) Xuddi shunday inkor va implikatsiya amallari orqali shunday formula tuzingki, uning chinlik jadvali diz’yunksiyaning chinlik jadvali bilan bir xil bo‘lsin.