7-мавзу. Динамик дастурлаш элементлари режа

g ва h, љийматлар учун узлуксиз функциялар бњлса, (1) функция максимум љийматга албатта, эга бњлади. Демак, W₁(x,y) функциянинг максимал љиймати бир босљичли жараённинг мумкин бњлган максимал љийматини ифодалайди. Бунда фойданинг њлчов бирлиги, х - маблађнинг њлчов бирлигидан фарљ љилиши мумкин (масалан, х пул бирлиги, g(y) эса у маблађга сотиб олинган ускуналарни њрнатиш билан инсон меќнати иљтисоди бњлиши мумкин).
Икки босљичли жараённи љараймиз. Фараз љилайлик, g(y) фойда олиш учун зарур бњлган харажат, бошланђич миљдори аy миљдоргача камайсин, бунда њзгармас сон. Шунга ухшаш h(x-y) миљдорда фойда олиш учун зарур бњлган харажат миљдори бошлангич (х-у) маблађ миљдори b(x-y) гача камаяди. Шундай љилиб, жараённинг бир босљичи натижасида маблађ љолдиђи

ни ташкил этади. љолган маблађни љайта таљсимлаймиз,

бунда . Бу таљсимлаш натижасида даромад олинади. Умумий даромад

бњлади. Бу икки њзгарувчили функциянинг ва шартларда максимумини топиш билан иккинчи босљичдаги умумий максимал даромад олинади.
Энди маблађни N марта љайта таљсимланадиган жараённи N босљичли жараён сифатида љараймиз. Бу жараённинг умумий даромад ушбу функция билан ифодаланади:
(2)
бунда биринчи, иккинчи ва ќоказо N - босљичларда љайта таљсимланадиган маблађлар ушбу тенгликлардан аниљланади:
(3)
Бу ќолда умумий (жами) максимал даромад (2) .. њзгарувчили функциянинг N њлчовли фазодаги (3) шартларни љаноатлан-тирувчи максимумини топиш билан аниљланади.
Шундай љилиб, N њзгарувчили функциянинг бирор соќадаги максимумини топиш масаласига келамиз. Маълумки, бундай масалаларни классик усуллар билан ечиб бњлмайди ёки катта љийинчиликларга олиб келади. Бу масалани N босљичли жараёнда оптималлик принципини љњллаб ечиш мумкин. Шуни таъкидлаймизки, N босљичли жараёнда даромаднинг максимум љиймати N босљичларга ва бошланђич х миљдорга бођлиљ бњлади. Шунинг учун, максимал даромад функцияси књринишда ифодалаш мумкин. Масала шартига асосан, бир босљичли масала учун
(4)
функционал-экстремал тенгламани ќосил љиламиз. Икки босљичли масалани љараганда, умумий даромад.
(5)
формула билан ифодаланади.
Худди шундай, N босљичли жараён учун

рекуррент формула келиб чиљади, бу ерда . функция љийматини (4) формула ёрдамида ќисоблаб, (5) га асосан ни аниљлаймиз.
Функционал-экстремал тенгламалар усулини љњллаш билан N њлчовли масалани кетма-кет ечиладиган N та бир њлчовли масалага келтирилади.
Шундай љилиб, умумий ќолда
(7)
функционал тенгламага эга бњламиз, бунда f жараённинг маљсади критерияси даромад фойда ва бошљалар); N - босљичлар сони; х - N системанинг ќолатини характерловчи њзгарувчи; - критериянинг натижавий љиймати; - бошљарувчи њзгарувчи, унинг танланишига љараб критериянинг натижавий љиймати њзгаради; критерийнинг N босљичда нинг оптимал танланишига љараб ( ) топилган љиймати; - (N-1) босљичдаги критерийнинг натижавий љиймати.
N босљичда оптимал бошљариш танланган бњлсин. (N-1) босљичдаги ќолат ушбу тенглама билан ифодаланади:
. (8)
Энди бу функционал-экстремал тенгламалар усулига сонли мисол љараймиз.
Маълумки, ресурслардан олинадиган умумий (жами) даромад, маблађнинг бошланђич миљдори х ва N босљичлар сонига бођлиљ. х маблађни у ва х-у миљдорларда таљсимлаш натижасида k - йилда даромад олиниб, маблађ љолдиђи љолди, дейлик. Шундай бошљаришни танлаш зарурки, N - босљичли жараёнда олинадиган умумий даромад максимум бњлсин. ва функциялар узлуксиз бњлсин, бу ерда . - N босљичли жараённинг умумий даромади. Бир босљичли, яъни N=1 учун

N2 бњлганда

бњлади. k=N учун
, (9)
ва k = N-1, N-2, ..., 2, 1 учун
. (10)
Мисол. Иккита I ва II тармољларни ривожлантириш учун 5 йилга х маблађ ажратилган. У миљдордаги маблађни I тармољља сарфласак, бир йилда даромад олиш мумкин ва унинг миљдори га камаяди. (х-у) миљдордаги маблађни II тармољља сарфлаб, бир йилда даромад олиш мумкин ва у га камаяди.
Ажратилган маблађни режалаштирилаётган даврга тармољлараро шундай таљсимлаш керакки, олинадиган умумий даромад максимал бњлсин.
Ечиш. режалаштириладиган 5 йилни, 5 та босљичга ажратамиз, яъни N=5, K=1,2,3,4,5 бњлсин.
Оптимал ечимни аниљлашни 5 босљичидан бошлаймиз, бу босљич бошида х₄ љолган маблађни таљсимлаш керак бњлади. Бунга мос у₅ нинг оптимал љийматини топиш керак. (9) тенгламалар таркибидаги ифодани тузамиз:
;
.
функциянинг оралиљдаги максимум љийматини топайлик. Зарурий шартга асосан, бундан .
Иккинчи тартибли ќосилани топамиз:

минимум нуљтаси бњлиб, . Функциянинг [0, x₄] кесманинг четки нуљталаридаги љийматини ќисоблаймиз:
бњлганда,
бњлганда,
бњлганлиги учун функция [0,x₄] кесмада у=0 бњлганда энг катта љийматга эга бњлиб, у₅=0 бњлганда .
Шундай љилиб, охирги босљич бошидаги љолган маблађни II тармољља сарфланса, энг катта даромад олинади.
(10) тенгламадан фойдаланиб 4, 3, 2, 1 босљичлардаги маблађларни кетма-кет таљсимлашнинг оптимал љийматини топилади:
4-босљич учун

бњлиб, бунда х₃ 4-босљич бошидаги љолган маблађ, 4-босљичда I тармољ учун у₄ маблађ сарфланса, (х₃-у₄) II тармољља сарфланади, яъни
.
х₄ нинг х₃, у₄ орљали ифодасини тенгламага љњйиб

4-босљич тенгламаси ќосил бњлади. Љавс ичидаги ифоданинг

[0, x₃] кесмадаги энг катта љийматини ќисоблаймиз:
;
;
.
Демак, у₄=0,5х₃ минмум нуљтаси бњлади. Z₄ функциянинг [0,x₃] кесманинг четки нуљталаридаги љийматини ќисоблаймиз.
у₄=0 бњлганда, ,
у₄=х₃ бњлганда, ,
бњлганлиги учун Z₄ функция [0,x₃] кесмада у₄=0 бњлганда энг катта љийматга эга бњлади. Шундай љилиб, 4-босљич боишда љолган ќамма маблађни II тармољља сарфланса энг катта даромадга эга бњлади.
3-босљич учун функционал тенгламани ёзамиз:
,
бу ерда х₂ - 3-босљич бошидаги љолдиљ маблађ бњлиб, унинг у₃ љисмини I тармољља сарфласак, II тармољља х₂-у₃ љисми сарфланади, яъни
.
Бу босљич тенгламасида х₃ ни х₂ ва у₃ орљали ифодаси билан алмаштирсак

ќосил бњлади. Бу функциянинг [0, x₂] кесмадаги энг катта љиймати у₃=х₂ нуљтада бњлиб, бњлади. Худди 5, 4, 3 босљичлардагидек 2 босљич учун

тенгламани ќосил љилиб

ни бу тенгламага љњйсак

тенглама ќосил бњлади. Бу функциянинг [0, x₁] кесмадаги энг катта љиймати у₂=х₁ нуљтада бњлиб, бњлади. Энди биринчи босљич учун функционал тенгламани тузамиз:

ёки
.
Охирги функциянинг [0,x] кесмадаги энг катта љиймати у₁=х нуљтада бњлиб, бњлади. Демак, биринчи босљичда энг катта даромадга эришиш учун ќамма маблађни I тармољља сарфлаш керак экан.
Шундай љилиб, энг катта даромад олиш учун ажратилган маблађни биринчи уч йилда ќамма маблађни I тармољља, кейинги 2 йилда колган маблађни II тармољља таљсимлаш керак бњлади. Демак, биринчи йил бошида ќамма маблађни I тармољља љњйилади ва у йил охирида 0,75х гача камаяди. Љолган 0,75х маблађни 2-йил бошида яна I тармољља љњйилади ва йил охирида 0,75·0,75=0,56х гача камаяди. Учинчи йил бошида 0,56х маблађни яна I тармољља љњйилади ќамда йил охирида 0,750,56=0,42х гача камаяди. 4-йил бошида 0,42х маблађни II тармољља љњйилади ва йил охирида 0,30,42х=0,126х гача камаяди. 5-йил бошида 0,126х маблађни II тармољља љњйилади ва у йил охирида 0,30,126х=0,038х бњлади. Бундай таљсимлаш билан 5 йилда оптимал даромад бњлади.