7-ma'ruza: nyuton binomi. Kiritish -yo'qotish (chiqarish) formulasi. Kombinotorika formulalarining xossalari

(n=2,3,4,5) sonlar ekanligini payqash qiyin emas.

1-teorema. Barcha haqiqiy a va b hamda natural n sonlar uchun

formula o'rinlidir.

lsboti. Matematik induksiya usulini qo'llaymiz. Baza: n= 1 bo'lganda formula to'g'ri: . Induksion о 'tish: isbotlanishi kerak bo'lgan formula n=k uchun to'g'ri bo'lsin, ya'ni

. Formula n=k+1 bo'lganda ham to'g'ri ekanligini isbotlaymiz. Haqiqatan ham, formuladan foydalanib, quyidagilarni hosil qilamiz:

Ixtiyoriy a va b haqiqiy sonlar hamda n natural son uchun ifodaning ko'phad shaklidagi yoyilmasi (tasvirlanishi) Nyuton binomi, deb ataladi. Umuman olganda, «Nyuton binomi» iborasiga tanqidiy nuqtayi nazardan yondashilsa, undagi har ikki so'zga nisbatan ham shubha tug'iladi: birinchidan, ifoda birdan katta natural n sonlar uchun binom (ya'ni ikkihad) emas; ikkinchidan, natural sonlar uchun bu ifodaning yoyilmasi Nyuton- gacha ma'lum edi.

Greklar ifodaning qatorga yoyilmasini n ning faqat n=2 bo'lgan holida (ya'ni yig'indi kvadratining formulasini) bilar edilar. Umar Xayyom va Ali Qushchi ifodani n>2 bo'lgan natural sonlar uchun ham qatorga yoya bilganlar. Nyuton esa 1767-yilda yoyilma formulasini isbotsiz manfiy va kasr n sonlar uchun ham qo'llagan. L. Eyler 1774-yilda Nyuton binomi formulasini kasr n sonlar uchun isbotladi, K. Makloren esa bu formulani darajaning ratsional ko'rsatkichlari uchun qo'lladi. Nihoyat, 1825-yilda N. Abel daraja ko'rsatkichining istalgan kompleks qiymatlari uchun binom haqidagi teoremani isbotladi.

C sonlarni binomial koeffitsiyentlar, deb ham atashadi. Bunday ta'rif bu koeffitsiyentlarning Nyuton binomi formulasida tutgan o'rniga qarab berilgan bo'lib, C son

yoyilmadagi ifodaning koeffitsiyentidir.

2-teorema. Barcha haqiqiy a va b hamda natural n sonlar uchun

formula o'rinlidir.

Isboti. Nyuton binomi formulasida b ni (—b) ga almashtirsak, kerakli formulani hosil qilamiz. ■

1-misol. Oxirgi formuladan xususiy holda quyidagi qisqa ko'paytirish formulalari kelib chiqadi:

n=2 bo'lganda ayirmaning kvadrati formulasi

n=3 bo'lganda ayirmaning kubi formulasi

Nyuton binomi formulasini kombinatorik amallar yordamida ham hosil qilish mumkin.

Haqiqatan ham, ixtiyoriy sonlar uchun ifodani

ko'rinishda yozish mumkin. Bu tenglikning o'ng tomonida joylash- gan oldidagi koeffitsiyent birga teng. Birinchi qavslar

ichidagi qo'shiluvchilar soni n ga tengligi yaqqol ko'rinib turibdi. Ikkinchi qavslar ichidagi qo'shiluvchilar (n ta)

elemcntlardan ikkitadan ko'paytmalar (soni ga teng grup-

palashlar) ekanligini ham payqash qiyin emas. Uchinchi qavslar ichidagi qo'shiluvchilar esa o'sha n ta elementlardan uchtadan

ko'paytmalar bo'lib, ularning soni ga teng va hokazo. Oxirgi

qo'shiluvchi oldidagi koeffitsiyent birga teng. Yuqoridagi tenglikda deb olsak, Nyuton binomi formulasini hosil qilamiz.

3.3. Binomial koeffitsiyentlarning xossalari. Binomial koef­fitsiyentlarning ba'zi xossalarini keltiramiz. Bu xossalar bevosita gruppalashlarga oid bo'lib, tabiiyki, ular Paskal uchburchagining xossalarini ham ifodalaydi.

1-xossa. tenglik o'rinlidir.

Haqiqatan ham,

Bu xossa binomial koeffitsiyentlar qatoridagi istalgan ketma- ket ikki elementning bin ma'lum bo'lsa, boshqasini osonlik bilan hisoblash mumkinligini ko'rsatadi:

bu yerda, m = 0,1,2,..,n-1.

2-xossa.Ixtiyoriy natural n son uchun barcha binomial koeffitsiyentlar yig'indisi ga teng, ya'ni

Bu tenglik Nyuton binomi formulasida a=b= 1 deb olganda hosil bo'ladi. ■

3-xossa.Toq o'rinlarda turgan binomial koeffitsiyentlar yig'indisi juft o'rinlarda turgan binomial koeffitsiyentlar yig'indisiga teng.

Haqiqatan ham, Nyuton binomi formulasida a= 1 va b= — 1 deb olganda,

tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikdan xossadagi tasdiqning to'g'riligi kelib chiqadi. ■

2- va 3-xossalar asosida quyidagi xossani hosil qilamiz.4- xossa.

n natural sondan oshmayligan eng katta toq m son uchun tenglik hmda n sondan oshmaydigan

eng katta juft m son uchun tenglik о'rinlidir.

5-xossa.Toq n son uchun

juft n son uchun esa

munosabatlar о`rinlidir.

Haqiqatan ham, shartniqanoatlantiruvchi ixtiyoriy

natural n va m sonlar uchun tegsizlik o'rinlidir,

bo'lganda esa tengsizlikk; ega bo'lamiz. Bu yerda,

formulani (1-xossaga qarang) qo'llab, xossadagi barcha tengsizliklarni hosil qilamiz.

Agar n toq son bo lsa, butun son bo lib, munosabat o'rinlidir. Demak,

formuladan bo'lganda

tenglik kelib cliqadi. ■

Binomial koeffitsiyentlarning 5-xossisi Paskal uchburchagining yuqorida keltirilgan xossalari tasdig'i bo`lib, unga ko`ra binomial

koeffitsiyentlar oldin dan gacha¹ o'sadi, keyin esa

gacha kamayadi hamda n toq bo'lganda, binomial koef-

fitsiyentlar qatorining o'rtasidagi ikkita hadi tengdir va n juft bo'l­ganda, uning o'rtadagisi hadi eng katta va yagonadir. Quyidagi 6—8-xossalar o'rinlidir:

6-xossa.

7-xossa.

8-xossa.

Oxirgi tenglik Koshi¹ ayniyati, deb aytiladi. Endi bu uchta xossalarni isbotlaymiz. Dastlab 6-xossaning isbotini kcltiramiz. Birinchidan,

ko'phad uchun Nyuton binomi formulasini qo'llab, quyidagi tcnglikni hosil qilamiz:

Bu yerdan, s ko'phaddagi x ⁿ ifodaning koeffitsiyenti

yig'indiga tengligini aniqlash mumkin.

Ikkinchidan, s =(l+x)ⁿ(l +(1 +x)+...+(1 +x)^k) ifodani geometrik progressiya hadlari yig'indisi formulasiga binoan, quyidagicha ham yozish mumkin:

Bu yerda ham Nyuton binomi fonnulasini qo'llab, hosil bo'lgan ko'phadning xⁿ daraja qatnashgan hadi koeffitsiyenti ekan-

ligini ko'rish mumkin. Keltirilgan bu mulohazalar asosida 6-xos- sadagi tenglikka ega bo'lamiz. ■

Ravshanki, formula e'tiborga olinsa, 7-xossa 8- xos- sadan m =k =n bo'lganda xususiy hol sifatida kelib chiqadi. Shuning

uchun faqat 8-xossaning isbotini keltirish bilan chegaralanamiz. Birinchidan, Nyuton binomi formulasiga ko'ra,

tengliklarga, bulardan csa (l+x)ⁿ (1+x)^m=(1+x)^n+m bo'lgani uchun

tenglikka ega bo'lamiz. Oxirgi tenglik-

ning har ikki tomonidagi x^k(k=0,l,...,min(m,n)) daraja koef- fitsiyentlarini bir-biriga tenglashtirsak, isbotlanishi kerak bo'lgan formulani hosil qilamiz. ■

Albatta, yuqoridagi uch xossa boshqa usullar bilan ham isbot­lanishi mumkin. Quyida 8-xossaning kombinatorik tahlilga asoslangan isboti keltirilgan.

2-misol. Koshi ayniyatini kombinatorik tahlilga asoslangan holda isbotlaymiz. n nafar o'g'il va m qiz boladan tashkil topgan talabalar guruhidan к (k= 0,l,...,min(m,n)) talaba tanlash zarur bo'lsin. n+m talabalardan к talabani xil usul bilan tanlash mumkinligi ravshan.

Boshqa tomondan olib qaraganda, n+m talabalardan iborat to'plamdan tanlanadigan barcha к elementli qism to'plamlarni ularning tarkibidagi o'g'il bolalar soniga qarab, sinflarga ajratishning quyidagicha imkoniyati bor. Tarkibida s (o≤S≤k)o'g'il bola

bo'lgan к elementli qism to'plamni oldin xil usul bilan tanlab,

keyin (k—s) qizlarni xil usullardan birontasi yordamida tan­lash mumkin. Demak, tarkibida s o'g'il bola bo'lgan к talabadan

iborat qism to'plamlar soni, ko'paytirish qoidasiga asosan, songa tengdir. Noldan k gacha bo'lgan barcha butun s sonlar uchun barcha kombinatsiyalar hosil qilgan holda bu kombinatsiyalarga mos ko'paytmalarni yig'ib, Koshi ayniyatining chap tomonini hosil qilamiz. ■

Binomial koeffitsiyentlarning yuqorida keltirilgan xossalarini tahlil qilish natijasida ularning turli sohalardagi tadbiqlari doirasining kengligini payqash mumkin. Misol sifatida to'plamlar nazariyasiga tatbiqini qaraymiz.