7-ма’ruza: Номаълум параметрларни баҳолаш учун ишончлилик интерваллари Режа

Нормал тақсимотнинг ўртача квадратик четланиши номаълум бўлганда математик кутилмасини баҳолаш учун ишончлилик интервали.
Энди бош тўпламнинг нормал тақсимланган Х миқдорий белгисининг номаълум математик кутилмасини бу тақсимотнинг ўртача квадратик четланиши н о м а ъ л у м бўлганда ўртача танланма қиймат бўйича баҳолаш талаб қилинсин. Ўз олдимизга параметрни ишончлилик билан қопловчи ишончлилик интервал-ларини топиш вазифасини қўямиз.
Эркинлик даражалари та бўлган Стьюдент тақси-мотига эга бўлган
(1)
тасодифий миқдорни кўриб чиқайлик. Бу ерда — танланма ўр-тача қиймат, — «тузатилган» ўртача квадратик четланиш, — танланма ҳажми.
Бу тасодифий миқдор тақсимотининг зичлик функцияси
(2)
га тенг, бунда .

Бу ердан (1) тасодифий миқдорнинг тақсимоти параметр — танланма ҳажми билан аниқланиши ва номаълум ва параметрларга боғлиқ эмаслиги кўриниб турибди.

функция бўйича жуфт бўлгани учун
(3)
тенгсизлик рўй беришининг эҳтимоллиги 7.1-теоремага асосан
(4)
формуладан аниқланади. (3) тенгсизликни унга тенг кучли бўлган қўш тенгсизлик билан алмаштириб,
(5)
муносабатни оламиз.
Шундай қилиб, Стьюдент тақсимотидан фойдаланиб, но-маълум параметрни ишончлилик билан қопловчи ишончлилик интервалини топдик. Махсус жадвалдан берилган ва бўйича ни топиш мумкин.
1-мисол. Бош тўпламнинг Х миқдорий белгиси нормал тақ-симланган. ҳажмли танланма бўйича ўртача тан-ланма қиймат ва «тузатилган» ўртача квадратик четланиш топилган. Номаълум математик кутилма ишончлилик билан ишончлилик интервали ёрдамида баҳолансин.
Ечиш. ни топамиз. Жадвалдан фойдаланиб, ва бўйича ни топамиз.
Ишончлилик чегараларини топамиз:
,
.
Демак, 0,95 ишончлилик билан номаълум параметр ишончлилик интервалининг ичида жойлашган.


Бош тўпламнинг Х миқдорий белгиси нормал тақсимланган бўлсин. Номаълум бош ўртача квадратик четланишни «туза-тилган» ўртача квадратик четланиш бўйича баҳолаш талаб қилинади. Ўз олдимизга параметрни ишончлилик билан қопловчи ишончлилик интервалларини топиш вазифасини қўямиз.
(6)
муносабат ёки унга тенг кучли бўлган
(7)
муносабат бажарилишини талаб қиламиз, бу ерда — берилган ишончлилик.
деб олиб,
(8)
қўш тенгсизликдан
(9)
тенгсизликни оламиз.
параметрни қопловчи ишончлилик интервалини топиш учун фақат ни топиш қолди. Шу мақсадда
(10)
тасодифий миқдорни қараймиз, бу ерда — танланма ҳажми (бу тасодифий миқдор тасодифий миқдор эркинлик да-ражалари та бўлган қонуни бўйича тақсимланган бўлгани учун орқали белгиланган).
тасодифий миқдор тақсимотининг зичлик функцияси
(11)
кўринишга эга. Бу тақсимот баҳоланаётган параметрга боғлиқ бўлмасдан, фақат танланма ҳажми га боғлиқ бўлади.
(9) тенгсизликдан
(12)
тенгсизликни олиш мумкин. Бу тенгсизликнинг ҳамма ҳадларини га кўпайтириб,

ни ёки
(13)
ни оламиз.
7.1-теоремадан фойдаланиб, шу тенгсизлик, бинобарин, унга тенг кучли бўлган (9) тенгсизлик рўй беришининг эҳтимоллиги
(14)
га тенг эканлигини кўрамиз. Шу тенгламадан берилган ва бўйича ни топиш мумкин. Бироқ амалиётда махсус жадвалдан топилади.
ни танланма бўйича ҳисоблаб ва ни жадвал бўйича топиб, номаълум параметрни берилган ишончлилик билан қопловчи изланаётган ишончлилик интервалини оламиз.