7 Maruza Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning matritsa, Gauss va Gauss-Jordan usullari: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning matritsa, Gauss va Gauss-Jordan usullari. Reja

7 - Maruza


Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning matritsa, Gauss va Gauss-Jordan usullari: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning matritsa, Gauss va Gauss-Jordan usullari.


Reja

1. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasi haqida umumiy tushunchalar.
   
2. 
   Kroneker-Kapelli teoremasi.
   
3. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasining iqtisodiyotda qo’llanilishiga misollar.
   
4. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli.
   
5. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss-Jordan usuli.
   
6. 
   Bazis yechim tushunchasi.
   
7. 
   Gauss va Gauss-Jordan usullarining iqtisodiy masalalarni yechishga qo’llanilishi.
   

Ma’lumki, bir necha tenglamalar birgalikda qaralsa, ularga tenglamalar sistemasi deyiladi. Quyidagi
_ a₁₁x₁  a₁₂ x₂  ...  a_1n x_n  b₁,
^ a x  a x  ...  a x  b ,

^ 21 1 22 2 2n n 2


^ ... ... ... ... ... ...
(1)

_^a_m1x₁  a_m2 x₂  ...  a_mn x_n  b_m
sistemaga n noma’lumli m ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi (yoki

soddalik uchun chiziqli tenglamalar sistemasi) deyiladi. Bu yerda
a₁₁, a₁₂ , , a_mn

sonlar (1) sistemaning koeffisiyentlari, sonlar esa ozod hadlar deyiladi.
x₁, x₂ , …, x_n
lar noma’lumlar,
b₁,b₂ ,...,b_m

Tenglamalar sistemasi koeffisiyentlaridan tuzilgan
_ a₁₁ a₁₂ ... a_{1n }
^ a a ... a ^

A  ^
21 22 2n _

^ ... ... ... ... ^
 a a ... a ^
 m1 m2 mn 

matritsa tenglamalar sistemasining asosiy matritsasi deyiladi. Noma’lumlar

vektorini
X  (x , x ,..., x )^T ustun vektor, ozod hadlarni B  (b ,b ,...,b )^T
ustun

1 2 n 1 2 m
vektor shaklida ifodalaymiz. U holda tenglamalar sistemasi quyidagi matritsa shaklida yozilishi mumkin:
AX  B.

Chiziqli tenglamalar sistemasi kamida bitta yechimga ega boʻlsa, u holda bunday sistema birgalikda deyiladi.

1-misol.

yechimga ega.

_x  y  2,


^2x  y  7
sistema birgalikda chunki sistema
x  3, y  1

Bitta ham yechimga ega boʻlmagan chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda boʻlmagan sistema deyiladi.

2-misol.

birgalikda emas.

_x  y  z  1,


_3x  3y  3z  5
sistema yechimga ega boʻlmaganligi sababli

Birgalikda boʻlgan sistema yagona yechimga ega boʻlsa, aniq sistema va cheksiz koʻp yechimga ega boʻlsa aniqmas sistema deyiladi.
_x  y  1,


3-misol. ^2x  2 y  2, sistema birgalikda, ammo aniqmas, chunki bu


^3x  3y  3

sistema x   ,
y  1  
koʻrinishdagi cheksiz koʻp yechimga ega, bunda  -

ixtiyoriy haqiqiy son.
Birgalikda boʻlgan tenglamalar sistemasi bir xil yechimlar majmuiga ega boʻlsa, bunday sistemalar ekvivalent deyiladi.

4-misol.

_2x  3y  5


^ x  2 y  3

1. 
   tenglamalar sistemasining yechimi (x, y)  (1,1) .
   

^ 3x  y  4
^{3x  2 y  1} (b) tenglamalar sistemasining yechimi (x, y)  (1,1) .


1. 
   va (b) tenglamalar sistemasi ekvivalent tenglamalar sistemasi deyiladi.
   

Berilgan tenglamalar sistemasining birorta tenglamasini noldan farqli songa koʻpaytirib, boshqa tenglamasiga hadma-had qoʻshish bilan hosil boʻlgan sistema berilgan sistemaga ekvivalent boʻladi.

5-misol.

_x  3y  5


^3x  y  5
(a) tenglamalar sistemadagi 1-tenglamani (-3) ga


koʻpaytirib 2-tenglamaga qoʻshib quyidagini hosil qilamiz.

_ x  3y  5

(b)

natijada (a) va (b) tenglamalar sistemasi ekvivalent.
^10 y  10

Chiziqli tenglamalar sistemasining yechimga ega yoki ega emasligini quyidagi teorema yordamida aniqlash mumkin.

Kroneker-Kapelli teoremasi. Chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda bo‘lishi uchun uning A asosiy matritsasi va kengaytirilgan ( A | B) matritsalarining ranglari teng bo‘lishi zarur va yetarli.



Isbot. Zaruriyligi. Faraz qilamiz (1) sistema birgalikda bo‘lsin. U holda

uning biror yechimi mavjud va
x₁  ₁ ,x₂  ₂ ,...,x_n  _n
dan iborat bo‘lsin.

Bu yechimni (1) chiziqli tenglamalar sistemasidagi noma’lumlar o‘rniga qo‘ysak:

ega bo‘lamiz.

a_i1₁  a_{i 2}₂ Λ a_in_n  b_i , i  1,2,...,m
(2)

Bu tengliklar majmuasi quyidagi tenglikka ekvivalent:
 ^a₁₁   ^a₁₂   ^a_1n   ^b₁ 
 _a   _a   _a   _b 

_  ²¹  _{ } 
^{22 } Λ  ^
2n _{  }
^{2 } , i  1,2,...,m
(3)

^{1 } Μ ^{ 2 } Μ ^{
n } Μ
^{ } Μ ^

 _a   _a   _a
  _b 

 m1   m 2  
mn   m 

Bundan (1) sistemaning kengaytirilgan matritsasi oxirgi ustuni asosiy matritsa ustunlari kombinatsiyasidan iborat ekanligi kelib chiqadi. Ma’lumki matritsaning rangi ustunlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘lgan ustunni tashlab yuborilganda o‘zgarmaydi. Kengaytirilgan matritsadan ozod hadlar ustunini olib tashlasak sistemaning asosiy matritsasiga ega bo‘lamiz. Demak, asosiy va kengaytirilgan matritsalarning ranglari teng. Shuni isbotlash talab etilgan edi.
Yetarliligi. Aytaylik asosiy va kengaytirilgan matritsalarning ranglari teng,
r _ A_  r _ A B_ .

^{A (asosiy) matritsaning r ta bazis ustunlarini ajratamiz, bular}  ^{A B}  (kengaytirilgan) matritsaning ham bazis ustunlari bo‘ladi. Faraz qilamiz birinchi r ta ustun bazis bo‘lsin.
Bazis minor haqidagi teoremaga asosan A matritsaning oxirgi ustuni bazis ustunlarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida tasvirlanishi mumkin. Bu esa:

^{ a}11 ^{  a}12 ^{  a}1r
  ^b₁ 

 _a   _a   _a
  _b 

_  ²¹  _{ } 
^{22 } Λ  ^
2r _{  } 2 _

^{1 } Μ ^{ 2 } Μ ^{
r } Μ
^{ } Μ ^

 _a   _a   _a
  _b 

 m1   m 2  
mr   m 

munosabatni qanoatlantiruvchi
₁,₂ ,...,_r
lar mavjudligini bildiradi. Oxirgi

munosabat quyidagi m ta tenglamalarga ekvivalent:

a_i1₁  a_{i 2}₂ Λ a_ir_r
Agar (1) tenglamalar sistemasiga
 b_i , i  1,2,...,m

x₁  ₁ ,x₂  ₂ ,...,x_r  _r ,x_{r 1}  0,...,x_n  0 , (4)
qo‘ysak, u holda tenglamalar sistemasi (2) ga aylanadi. Bundan noma’lumlarning

4. 
   qiymati (1) sistemadagi barcha tenglamalarni qanoatlantiradi, ya’ni sistema yechimga ega bo‘ladi. Teorema isbotlandi.
   

Kroneker-Kapelli teoremasiga ko‘ra birgalikda bo‘lgan tenglamalar sistemasining asosiy A matritsasi rangi bilan uning kengaytirilgan _ A B _

matritsasining ranglari teng.
r  r _ A_  r _ A B_
qiymatni berilgan sistemaning

rangi deb ataymiz. A matritsaning biror bazis minorini belgilab olamiz. Bazis satrlarga mos bo‘lgan tenglamalarni berilgan sistemaning bazis tenglamalari deb ataymiz. Bazis tenglamalar bazis sistemani tashkil etadi. Bazis ustunlarda qatnashgan noma’lumlarni bazis o‘zgaruvchilar, qolganlarini ozod o‘zgaruvchilar, deb ataymiz.
Oldingi mavzularda berilgan bazis minor haqidagi teoremadan quyidagi tasdiq o‘rinliligi kelib chiqadi.

Teorema. Chiziqli tenglamalar sistemasi o‘zining bazis tenglamalar sistemasiga ekvivalent.

Soddalik uchun (1) sistemada birinchi r ta tenglama bazis tenglama bo‘lsin.

Yuqorida keltirilgan teoremaga asosan:

a_i1 x₁  a_{i 2} x₂ Λ a_in x_n  b_i , i  1,2,...,r
(5)

bazis tenglamalar sistemasi berilgan (1) sistemaga ekvivalent. Shuning uchun (1) tenglamalar sistemasi o‘rniga uning rangiga teng bo‘lgan (5) sistemani tadqiq etish yetarli.

O‘z-o‘zidan ko‘rinadiki matritsaning rangi ustunlar sonidan katta emas, ya’ni r  n . Boshqacha aytganda birgalikdagi sistemaning rangi noma’lumlar sonidan oshmaydi.
Bu yerda ikki hol bo‘lishi mumkin:

1. 
   r  n ;
   

r  n , ya’ni bazis sistemada tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo‘lsin.

Bazis sistemani quyidagicha ifodalaymiz A_b X
 B_b . Bunda
A_b bazis minorga mos

matritsa. det( A_b )  0
bo‘lganligi sababli,
A^1 mavjud va

b
X  EX  A^1A X  A^1( A X )  A^1B
b b b b b
tenglik yagona yechimni ifodalaydi.

2. 
   r  n
   

bo‘lsin. Tenglamalarda
x₁ , x₂ ,..., x_r
bazis noma’lumlar

qatnashmagan barcha hadlarni uning o‘ng tomoniga o‘tkazamiz. U holda (5) sistema:

ko‘rinishni oladi.

a_i1 x₁  a_{i 2} x₂ Λ a_ir x_r
 b_i  a_{ir 1} x_{r 1} Λ a_in x_n .

Agar erki
x_r , x_{r 1} ,..., x_n
noma’lumlarga biror
_r1,...,_n
sonli qiymatlarni

bersak, u holda
x₁,..., x_r
o‘zgaruvchilarga nisbatan tenglamalar sistemasini olamiz

va bu sistemada noma’lumlar soni asosiy matritsa rangiga teng bo‘lganligi sababli u yagona yechimga ega. Erkli noma’lumlar qiymati ixtiyoriy tanlanganligi sistemaning umumiy yechimlari soni cheksiz ko‘p.
Fan va texnikadaning koʻp sohalarida boʻlganidek, iqtisodiyotning ham koʻp masalalarining matematik modellari chiziqli tenglamalar sistemasi orqali ifodalanadi.
6-misol. Korxona uch xildagi xom ashyoni ishlatib uch turdagi mahsulot ishlab chiqaradi. Ishlab chiqarish xarakteristikalari quyidagi jadvalda berilgan.

Xom ashyo turlari	Mahsulot turlari boʻyicha xom ashyo sarflari			Xom ashyo zahirasi
	A	B	C
1	5	12	7	2000
2	10	6	8	1660
3	9	11	4	2070

Berilgan xom ashyo zahirasi toʻla sarflansa, mahsulot turlari boʻyicha ishlab chiqarish hajmini aniqlashning matematik modelini tuzing.

Yechish. Ishlab chiqarilishi kerak boʻlgan mahsulotlar hajmini mos ravishda

x₁, x₂ , x₃
lar bilan belgilaymiz. Bir birlik A turdagi mahsulotga, 1-xil xom ashyo

sarfi 5 birlik boʻlganligi uchun
5x₁
A turdagi mahsulot ishlab chiqarish uchun

ketgan 1-xil xom ashyoning sarfini bildiradi. Xuddi shunday B va C turdagi mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun ketgan 1-xil xom ashyo sarflari mos ravishda

12x₂ ,
7x₃
boʻlib, uning uchun quyidagi tenglama oʻrinli boʻladi:

uchun
5x₁  12x₂  7x₃  2000 . Yuqoridagiga oʻxshash 2, 3-xil xom ashyolar

10x₁  6x₂  8x₃  1660,

9x₁  11x₂  4x₃  2070

tenglamalar hosil boʻladi. Demak, masala shartlaridan quyidagi uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu masalaning matematik modeli quyidagi uch noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasidan iborat boʻladi:


_5x₁  12x₂  7x₃  2000,
_10x₁  6x₂  8x₃  1660,
^9x  11x  4x  2070.
 1 2 3