7-§. Algebraik operatsiya

7-§ . ALGEBRAIK OPERATSIYA
7.1. Algebraik operatsiya tushunchasi. Avvalgi boblarda siz to‘plz1m, mulohaza va predikat tushunchalari bilan tanishdingiz. Ular ustida ma’lum amallar bajarilishi, bu amallarning o‘ziga xos xossalari borligini bildingiz. Ularning ba’zilarining nomi esa sizga maktab matematika kursidan ma’lum edi. Bu xossalar orasida o‘xshashlari bor. Mazkur bobda mana shu umumiylik haqida so‘z ketadi.
Maktab matematika kursida sonlar ustida turli amallar qaraladi: qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish kabilar. Sonlar ustida har bir operatsiyani bajarish natijasida yana sonlar hosil bo‘ladi. Masalan: 5 + 9 = 14, 5-9 = 45. 5 — 9 amali natijasi esa natural sonlar to‘plamida aniqlangan emas. Agar bu amal (ayirish) butun sonlar (Z) to‘plamida berilsa, aniqlangan, ya’ni 5 — 9 = -4. Nihoyat, 5:9 esa Q to‘plamda aniqlangan. Demak, har bir operatsiyani bajarishda ikkita element uchun shu to ‘plamdan uchinchi elementni topish kerak ekan. Boshqacharoq qilib aytganda, biror X to‘plamdan olingan har bir tartiblangan juftga shu to‘plamdan bitta element mos keltirildi. Bunday moslik algebraik operatsiya deyiladi.
1—ta ’ rif. Agar X to ‘plamdan olingan har bir (x; y) juftlikka yana shu to ‘plamdan z element mos kelsa, u holda bu moslik X da berilgan binar algebraik operatsiya deyiladi, ya ’ni (V(x; y)EX, 3zeX)[(x; y) = z]-
Misol. Qo‘shish N to‘plamda algebraik operatsiya bo‘ladi. Haqiqatan ham, (V(a; b)EN, 3cEN)(a + b = c).
2—t a ’ r i f. Agar X to ‘plamdan olingan ba’zi (x; y) — juftliklar- ga shu to ‘plamdan bitta z element mos kelsa, u holda bu moslik qisman algebraik operatsiya deyiladi, ya’ni (V (x; y)EX, 3zEX)((x; y) = z)-
Masalan, ayirish va bo‘lish N da qisman algebraik operatsiya bo‘ladi.
3—t a ’ r i f. X to ‘plamda algebraik operatsiya berilgan b0 ‘lsin. Agar X to ‘plamning biror A qism to ‘plamidan olingan ixtiyoriy (x; y) juftlikka mos z ham A ga tegishli bo ‘Isa, A to ‘plam berilgan algebraik operatsiyaga nisbatan yopiq deyiladi.
7.2. Algebraik operatsiya xossalari. X to‘plamda * va - al- gebraik operatsiyalari berilgan bo‘lsin.
4—t a ’ r i f. Agar X to ‘plamdan olingan istalgan x, y, z element- lar uchun (x * y) * z = x >=< (y * z) shart bajarilsa, u holda «*»
51 operatsiyasi assotsiativ deyiladi, ya ’ni (Vx, y, zEX)((x*y)*z= = x*(y*z)).
Masalan, «+» operatsiyasi N da assotsiativ algebraik operatsiya- dir. Chunki (Va, b, cEN)((a + b) + c = a + (b + c)).
Shu kabi to‘p1amlarning birlashmasi, kesishmasi, mulohaza va predikatlar dizyunksiyasi va konyunksiyasi ham assotsiativ al- gebraik operatsiya bo‘ladi.
Agar algebraik operatsiya assotsiativlik xossasiga ega bo‘1sa, faqat shu operatsiya qatnashgan ifodalarni qavslarsiz yozish mum- kin: (a*b)*c = a*(b*c) = a*b*c.
5-ta ’ rif. Agar X dan olingan istalgan x, y elementlar uchun x*y=y*x shart bajarilsa, u holda (*) operatsiyasi kommutativ deyiladi.