6-mavzu. Tartibi pasayadigan yuqori tartibli differensial tenglamalar

 
shartlarini qanoatlantiruvchi 
𝑦 = 𝑦(𝑥)
yechim 
mavjud va yagonadir
. 
Taʼrif.
n-tartibli differensial tenglamning umumiy yechimi deb n ta 
𝐶
1
, 𝐶
2
, … , 𝐶
𝑛
ixtiyoriy oʻzgarmas miqdorga bogʻliq boʻlgan shunday 

---

2 
𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶
1
, 𝐶
2
, … , 𝐶
𝑛
) 
Funksiyaga aytamizki, bu funksiya: 
a)
𝐶
1
, 𝐶
2
, … , 𝐶
𝑛
ixtiyoriy oʻzgarmas miqdorlarning har qanday qiymatlarida ham 
tenglamani qanoatlantiradi; 
b)
Berilgan 
{
𝑦
𝑥=𝑥
0
= 𝑦
0
𝑦
𝑥=𝑥
0
′
= 𝑦
0
′
… … … … …
𝑦
𝑥=𝑥
0
(𝑛−1)
= 𝑦
0
(𝑛−1)
boshlangʻich shartlarda 
𝐶
1
, 𝐶
2
, … , 𝐶
𝑛
larni shunday 
tanlab olish mumkinki, 
𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶
1
, 𝐶
2
, … , 𝐶
𝑛
)
funksiya bu boshlangʻich 
shartlarni qanoatlantiradigan boʻladi.
Umumiy yechimni oshkormas holda aniqlovchi 
Ф(𝑥, 𝑦, 𝐶
1
, 𝐶
2
, … , 𝐶
𝑛
) = 0
koʻrinishdagi munosabat differensial tenglamaning 
umumiy integrali
deyiladi.
Umumiy yechimdan 
𝐶
1
, 𝐶
2
, … , 𝐶
𝑛
oʻzgarmas miqdorlarning tayin qiymatlarida hosil 
boʻladigan har qanday funksiya 
xususiy yechim
deb ataladi. Xususiy yechimning 
grafigi berilgan differensial tenglamaning 
integral egri chizigʻi
deyiladi.
Yuqori tartibli differensial tenglamalardan eng ommabopi 2-tartibli differensial 
tenglamalardir:
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦
′
, 𝑦
′′
) = 0
𝑥, 𝑦, 𝑦
′
- larning ayrimlari yoki hattoki hammasi qatnashmasligi ham mumkin, 
muhimi 
𝑦
′′
ni qatnashishi shart. Eng primitiv 2-tartibli differensial tenglama 
𝑦
′′
= 0
Amaliy masalalarda taklif qilinayotgan yuqori tartibli differensial tenglamalar 
ikkita asosiy guruhga boʻlinadi: 
1)
Tartibini pasaytirish mumkin boʻlgan differensial tenglamalar; 
2)
Oʻzgarmas koeffitsiyentli yuqori tartibli chiziqli differensial tenglamalar; 
Tartibni pasaytirish mumkin boʻlgan differensial tenglamalar uchta asosiy tipga 
boʻlinadi: 
1)
𝑦
(𝑛)
= 𝑓(𝑥)
– koʻrinishdagi differensial tenglamalar; 

---

3 
2)
𝑦 
funksiya yaqqol koʻrinishda qatnashmagan differensial tenglamalar: 
𝐹(𝑥, 𝑦
′
, 𝑦
′′
) = 0
– hammasi bor, 
y
yoʻq. 
3)
Bogʻliq boʻlmagan oʻzgaruvchi x qatnashmagan differensial tenglamalar: 
𝐹(𝑦, 𝑦
′
, 𝑦
′′
) = 0
– hammasi bor,
x
yoʻq 
I.
𝑦
(𝑛)
= 𝑓(𝑥)
- differensial tenglamani yechish uchun chap va oʻng tomonni takror 
integrallash usulidan foydalaniladi. Integrallashni n marta amalga oshirishga 
toʻgʻri keladi. Agar differensial tenglamaning mos berilgan boshlangʻich 
shartlarida xususiy yechimi qidirilayotgan boʻlsa, har bir integrallashdan keyin 
mos boshlangʻich shartdan foydalanib, integrallash natijasida yuzaga keladigan 
C- konstantalarni topishga toʻgʻri keladi.