6-mavzu: funksiya tushunchasi. Funksiyaning asosiy xossalari. Ko’rsatkichli va logarifmik funksiyalar. Trigonametrik funksiyalar. Funksiya limiti. Aniqmas ifodalar va ularni elementar usullarda ochish

6-MAVZU: FUNKSIYA TUSHUNCHASI. FUNKSIYANING ASOSIY XOSSALARI. KO’RSATKICHLI VA LOGARIFMIK FUNKSIYALAR. TRIGONAMETRIK FUNKSIYALAR. FUNKSIYA LIMITI. ANIQMAS IFODALAR VA ULARNI ELEMENTAR USULLARDA OCHISH.
Biz funksiya tushunchasini kiritishdan oldin akslantirishlar haqida qisqacha tushunchaga ega bo’laylik. A va B to’plam bo’sh bo’lmasin.

Ta’rif. Agar A to’plamning har bir elementiga B to’plamning biror elementi mos quyilsa, A to’plam B to’plamga akslantirilgan deyiladi.

Odatda akslantirishlar f, g, h kabi harflar bilan belgilanadi.

f: A B kabi yoziladi.

Bizga X va Y bo’sh bo’lamagn to’plam berilgan bo’lsin.

Ta’rif. Agar X to’plamning har bir elementiga Y to’plamning yagona elementiga biror qonuniyat buyicha akslanishi funksiya deyiladi.Y o’zgaruvchi Xning funksiyasi ekanligini y=f(x) ko’rinishda belgilaymiz.

x ni shu funksiyaning aniqlanish sohasi deb, (D(f)), Y to’plam f(x) funksiyaning o’zgarish sohasi yoki qiymatlar sohasi deyiladi. E(f) ko’rinishda belgilanadi.

Funksiya berilishiga ko’ra quyidagicha ajratiladi:

1. 
   Jadvalko’rinishda
   
2. 
   Nuqtalarning tartiblangan holati
   
3. 
   Grafik ko’rinishi
   
4. 
   Analitik ko’rinishda
   

Ta’rif. Agar y=f(x) sonli funksiyaning aniqlanish sohasi D(f) koordinata boshiga nisbatan simmetrik bo’lsa va har bir xaD(f) uchun –x son mavjud bo’lib, f(-x)=f(x) tenglik bajarilsa, u holda funksiya juft funksiya deyiladi ya’ni argumentning qarama-qarshi qiymatida funksiya teng qiymatlar qabul qilsa bu funksiya juft funksiya deyiladi.
Masalan: y = x², x²=(-x)²

Ta’rif. Agar y=f(x) sonli funksiyaning aniqlanish sohasida D(f) koordinata boshiga nisbatan simmetrik bo’lib, ixtiyoriy xεD(f) uchun f(x) = -f(x) tenglik o’rinli bo’lsa, bu funksiya toq funksiya deyiladi.

Masalan: y = x³, -(x³)=(-x)³

Argumentning qarama-qarshi qiymatlarida funksiyaning ham qarama-qarshi qiymatlari to’g’ri kelsa, bu funksiya tok deyiladi.

Natija. Juft funksiya grafigi ordinatalar o’qiga nisbatan simmetrik, toq funksiya grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrik bo’ladi.
Agar argumentning qarama-qarshi qiymatlarida funksiya qiymatlari bir-biriga teng bo’lmasa funksiya toq ham emas, juft ham emas deyiladi.

Masalan: y=3x²-4x

[3x²-4x] ≠ [3(x)² – 4(-x)]

Juft va toq funksiyalarning xossalari.

1. 
   Ikki va undan ortiq juft funksiyalarning yig’indisi, ayirmasi, ko’paytmasi va bo’linmasi yana juft funksiyadir
   
2. 
   Ikki va undan ortiq toq funksiyalarning yig;indisi va ayirmasi yana toq funksiyadir.
   
3. 
   Ikki toq funksiya ko’paytmasi va bo’linmasi juft funksiyadir.
   

Y=f(x) funksiya biror A[a,b] sohada aniqlangan bo’lsin. Agar shu sohaga tegishli ixtiyoriy x₁ va x₂ lar uchun x₁ < x₂ bo’lganda f(x₁)< f(x₂) [f(x₁)≤ f(x₂)] tengsizlik bajarilsa, f funksiya A sohada o’suvchi (kamaymaydigan) funksiya deyiladi.

Agar y=f(x) funksiya A[a,b] sohada ixtiyoriy x₁ va x₂ lar uchun x₁< x₂ bo’lganda f(x₁) >f(x₂) yoki [f(x₁) ≥f(x₂)]tengsizlik bajarilsa f funksiya A sohada kamayuvchi (o’smaydigan) funksiya deyiladi.

A soha esa f funksiyaning o’sish va kamayish oralig’i deyiladi.

Natija: agar f(x) funksiya o’z aniqlanish sohasida uzluksiz bo’lsa, bu sohani zarur bo’lsa shunday oraliqlarga ajratish mumkinki ularning har birida f funksiya yo o’suvchi, yo kamayuvchi bo’ladi.
Monoton funksiya deb o’smaydigan yoki kamaymaydigan funksiyalarga aytiladi.

Bizga uzluksiz y = f (x) funksiya berilgan bo’lib, x₁, x₂, ….x_nnuqtalarda funksiya qiymati 0 ga aylanishi ma’lum bo’lsa, u xolda argumentning [x₁, x₂,], [x₂, x₃], [x_n-1, x_n] oraliqda ishorani saqlaydi.

Agar y=f(x) sonli funksiyaning aniqlanish sohasi D(f) ga tegishli har bir x nuqta bir qatorda qandaydir biror T son uchun x-t va x+t nuqtalar ham shu nuqtaga tegishli bo’lsa va f(x+t) = f(x) tenglik hamma xεD(f) nuqtalar uchun bajarilsa u holda f(x) funksiya davriy funksiya deyiladi. T₀ soni eng kichik davri bo’lsa, T = kT₀ k εZ son ham shu funksiya davri bo’ladi.
Masalan: sinx= sin(x+2πn) tgx=sin(x+ πn)

cosx=cos(x+2 πn) ctgx=ctg(x+ πn)