6-mavzu. Eyler tenglamalari sistemasi

Mustaqil ta’lim uchun mavzu: Ostrogradskiy tenglamasi

Ushbu

ko’rinishdagi funksionallarni o’rganamiz, bu yerda argumentga qoyildigan funksiyalar sohaning chegarasi bo’lgan chiziq ustida berilgan fazoviy kontur ustidan o’tishi talab qilinadi.
funksiya uch marta differensiallanuvchi bo’lsin. Faraz qilaylik funksional ikki marta differensiallanuvchi funksiya ustida ekstremumga erishsin. unga yaqin funksiya bo’lsin. Avvalgi darslarimisdagidek, yana bir parametrli

sirtlar oilasini tuzamiz, bu yerda . Bu sirtlar oilasi tenglamasida bo’lsa ekstremal funksiya, bo’lsa funksiya hosil bo’ladi. Agar funksionalni faqat sirtlar ustidagina qarasak u ga bog’liq funksiyaga aylanadi va bu funksiya nuqtada ekstremumga erishadi. U holda . Yozuvlarni qisqartirish maqsadida belgilashlarni kiritamiz. Dastlabki darslarimizda ni funksionalning variatsiyasi deb ataganmiz va orqali belgilaganmiz. U holda



bu yerda



Ushbu


tengliklarni hisobga olsak


Grin formulasi

Grin ormulasiga ko’ra

Bu integralda variatsiya chegarda nolga aylanadi. bo’lib, va funksiyalar sohaning chegarasi bo’lgan chiziq ustida berilgan fazoviy kontur ustidan o’tishi yuqorida talab qilingan.
Demak

va o’z navbatida ekstremumning zaruriy shartidan iborat

tenglik quyidagi ko’rinishni oladi

Integral ostidagi birinchi ko’paytma uzluksiz funksiyadir. ga keladigan bo’lsak, bu yerda funksiya ga yaqin bo’lgan ihtiyoriy funksiya bo’lganligidan funksiyaning ihtiyoriy o’zgaraotganligi kelib chiqadi. Aniqroq aytganda funksiya ikki marta differensiallanuvchi, nuqtalarda nolga aylanuvchi ihtiyoriy funksiya. Variatsion hisobning asosiy lemmasiga ko’ra funksiya uchun

ayniyat o’rinli.
Shunday qilib (1) funksional sirt ustida ekstremumga erishishi uchun funksiya

ikkinchi tartibli hususiy hosilali differensial tenglamani qanoatlantirishi zarur. (3) tenglama Ostrogradskiy tenglamasi deb ataladi. Bu tenglama rus olimi M.V. Ostrogradskiy tomonidan 1834 yilda hosil qilingan.Biroq (3) ormula soha to’g’ri to’rtburchakdan iborat bo’lganida L.Eyler tadqiqotlarida avvalroq mavjud bo’lgan.
1-misol. Funksional uchun Ostrogradskiy tenglamsni yozing

Bunda .