6-ma’ruza Butun va meromorf funksiyalarning qiymatlari haqidagi Pikarning kichik teoremasi. Teorema (Pikar)

6-ma’ruza

Butun va meromorf funksiyalarning qiymatlari haqidagi Pikarning kichik teoremasi.

Teorema 1. (Pikar). O’zgarmasdan farqli har qanday butun funksiya kompleks tekislikdagi bitta nuqtadan boshqa barcha chekli nuqtalarni qiymat sifatida qabul qiladi.

Isboti. Faraz qilaylik butun funksiya ikkita turli nuqtalarni qiymat sifatida qabul qilmasin. U holda ushbu funksiya

Ham butun funksiya bo’lib 0 va 1 qiymatlarni qabul qilmaydi. ixtiyoriy nuqta uchun nuqta atrofida golomorf bo’lgan modulyar funksiyani olib, teskari funksiyasining biror bir qiymatli tarmog’ini qaraymiz. Agar biz funksiyani qarasak, funksiya funksiya uchun maxsus nuqtalar hisoblangan 0,1 va qiymatlarni qabul qilmagani uchun funksiya istalgan egri chiziq bo’ylab analitik davom qiladi. bir bog’lamli ekanidan monodromiya haqidagi teoremaga asosan, funksiya da golomorf bir qiymatli funksiya bo’ladi, ya’ni butun funksiya bo’ladi. Lekin ni barcha qiymatlari birlik doira ichida bo’ladi va natijada chegaralangan funksiya bo’ladi. Liuvill teoremasidan bu funksiya o’zgarmas funksiya bo’lishi kelib chiqadi. U holda va demak funksiya ham o’zgarmasdir. Bu holat teorema shartiga zid bo’lgani uchun farazimiz noto’g’ri ekan. Teorema isbot bo’ldi.

Yuqoridagi Pikar teoremasini meromorf funksiyalar uchun quyidagicha umumlashtirish mumkin:

Teorema 2. (Pikar). Butun kompleks tekislik da o’zgarmasdan farqli har qanday meromorf funksiya kompleks tekislikdagi ikkita nuqtadan boshqa barcha nuqtalarni qiymat sifatida qabul qiladi.

Isboti. Faraz qilaylik meromorf funksiya uchta turli nuqtalarni qiymat sifatida qabul qilmasin. Bu nuqtalarni barchasini chekli deb faraz qilishimiz mumkin. Aks holda birortasi bo’lsa u holda butun funksiya bo’lib, yuqorida isbot qilinganidek bu funksiya o’zgarmas bo’lgan bo’lar edi. Quyidagi funksiyani qaraymiz:



Bu funksiya butun funksiya bo’lib va qiymatlarni qabul qilmaydi. Yuqorida isbot qilingan 1-teoremadan va demak funksiya ham o’zgarmasdir. Bu holat teorema shartiga zid bo’lgani uchun farazimiz noto’g’ri ekan. Teorema isbot bo’ldi.