6 aniq intеgrallarning ayrim tatbiqlari tekislikdagi geometrik shakllarning yuzalarini hisoblash

Tekislikdagi egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash. Maktab geometriyasida tekislikdagi egri chiziqlardan faqat aylana va uning yoylari uzunligini hisoblash formulasi beriladi. Parabola, giperbola, sinusoida kabi egri chiziqlarning turli yoylari uzunligini hisoblash masalasi amaliyotda kerak bo‘ladi. Bu masala ham aniq integral yordamida o‘z yechimini topadi.

у=f(x), x[a,b], funksiya bilan berilgan egri chiziqning AB yoyi uzunligini topish masalasini qaraymiz (78-rasmga qarang).


78-rasm

Bunda f(x) differensiallanuvchi va uning f′(x) hosilasi [a,b] kesmada uzluksiz deb hisoblaymiz. Berilgan [а,b] kesmani

а=х₀ <х₁<х₂< ∙∙∙<х_i-1<х_i< ∙∙∙<x_n=b

nuqtalar bilan ixtiyoriy n bo‘lakka ajratamiz. Natijada AB yoy n ta kichik A_i–1 A_i (i=1, 2, ∙∙∙, n) yoychalarga ajraladi.

Agar AB yoy uzunligi l va A_i–1 A_i (i=1, 2, ∙∙∙, n) yoychalar uzunliklari Δl_ideb olsak, unda

deb yozish mumkin. Endi kichik A_i–1 A_i (i=1, 2, ∙∙∙, n) yoychalarni ularning vatari , ya’ni A_i–1A_i kesmalar bilan almashtiramiz. To‘g‘ri burchakli A_i–1A_iD uchburchakda

|A_i–1D|= x_i –x_i–1=Δ x_i , |A_iD|=f(x_i)–f(x_i–1)=Δ f(x_i)

katetlar bo‘yicha A_i–1A_igipotenuza uzumligini Pifagor teoremasidan foydalanib topamiz:

.

Bu yerda Δl_i ≈ |A_i–1A_i| deb, izlanayotgan yoy uzunligi l uchun ushbu taqribiy tenglikni hosil etamiz:

.

Bu taqribiy tenglikdan aniq tenglikka o‘tish uchun n→∞, Δ_n→0 deb olamiz. Bu holda, hosila ta’rifiga asosan,

deb olish mumkin. Shu sababli yuqoridagi L_n yig‘indini funksiya uchun [a,b] kesma bo‘yicha integral yig‘indi deb qarash mumkin. Unda, aniq integral ta’rifiga asosan, izlanayotgan yoy uzunligi l uchun quyidagi formulani hosil etamiz:

. (6)

Misol sifatida y=lnsinx egri chiziqning x=π/3 va x=π/2 abssissali nuqtalari orasidagi yoyining uzunligini topamiz. Bunda y′=ctgx ekanligidan va universal almashtirmadan foydalanib, (6) formulaga asosan, ushbu natijani olamiz:

.

Agar egri chiziq x=φ(t) , y=ψ(t) ( t[α, β]) parametrik tenglamasi bilan berilgan bo‘lsa, unda dx= φ′(t)dt , dy= ψ′(t)dt va

bo‘lgani uchun (6) formula quyidagi ko‘rinishga keladi:

. (7)

Misol sifatida x=e^tcost , y=e^tsint (t[0,lnπ]) parametrik tenglamasi bilan berilgan egri chiziq yoyi uzunligini topamiz. Bunda

x′=φ′(t)= e^t(cost–sint) , y′=ψ′(t)= e^t(cost+sint)

bo‘lgani uchun, (7) formulaga asosan, quyidagi javobga ega bo‘lamiz:

.

1.