6- amaliy mashgulot Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi va uning yechimi. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining yechimi mavjudligining zaruriy va yetarli sharti

1-teorema (Kroneker-Kapelli). (6.1) chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lishi uchun sistemaning matritsasi A bilan kengaytirilgan matritsaning ranglari teng bo’lishi zarur va yetarli.

Isboti. Zarurligi (6.1) sistema birgalikda va yechimga ega bo’lsin. U holda

yoki

(6.2)

o’rinli bo’ladi.

matritsaning oxirgi ustunidan ga ko’paytirilgan birinchi ustunni, keyin ga ko’paytirilgan ikkinchi ustunni va hokazo nihoyat ga ko’paytirilgan n-ustunni ayiramiz. U holda (6.1) ga binoan ga ekvivalent

matritsa hosil bo’lib A bo’ladi. Demak .

Demak (6.1) sistema birgalikda bo’lganda bo’lar ekan.

2-teorema. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi nolmas yechimlarga ega bo’lishi uchun sistemaning matritsasi A ning rangi noma‘lumlar soni n dan kichik bo’lishi zarur va yetarlidir.

Natija. Agar bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining tenglamalari soni m noma‘lumlari soni n dan kam bo’lsa, u holda sistema nolmas yechimlarga ega bo’ladi. Naqiqatdan ham, .

Olingan natijalar tenglamalari soni noma‘lumlari soniga teng chiziqli tenglamalar sistemasi uchun ham o’rinli ekanligini ta‘kidlab o’tamiz.

Endi chiziqli tenglamalar sistemasini tekshirishga doir misollar qaraymiz.

1 -misol. Ushbu

sistema birgalikda bo’lsa, uni yeching?

Yechish. Sistemaning matritsasi

ning rangini topamiz. Matritsaning birinchi va ikkinchi satrlarini qo’shib to’rtinchi satridan ayiramiz. U holda

  

yoki oxirgi matritsaning birinchi satrini (-3) ga ko’paytirib ikkinchi va uchinchi satrlarning mos elementlariga qo’shsak



hosil bo’ladi. Hosil bo’lgan matritsa diognal matritsa rangi bo’ladi.

Kengaytirilgan

matritsaning rangini hisoblaymiz. A matritsadagi singari elementar alamashtirishlarni bajaramiz:

   

Oxirgi diognal matritsaning rangi bo’lishi ravshan. Demak kengaytirilgan matritsaning rangi ham 3 ga teng: .

Matritsalar bir xil ranglarga ega bo’lganligi uchun sistema birgalikda.

Bundan tashqari matritsalarning rangi noma‘lumlarning soniga teng, shu sababli sistema birgina yechimga ega. minor birinchi uchta tenglama koeffitsientlaridan tuzilgan, shu sababli to’rtinchi tenglama birinchi uchta tenglamalarning natijasidan iborat va uni tashlab yuborish mumkin.

Berilgan sistemaning birinchi uchta tenglamalaridan tuzilgan uch noma‘lumli uchta tenglamalar sistemasini Kramer formulalaridan foydalanib yechib ni topamiz. Bu yechim berilgan sistemaning ham yechimi bo’ladi.