5-Maвзy: Алгебранинг асоснй теоремаси ва унинг натижалари

5-Maвзy: Алгебранинг асоснй теоремаси ва унинг натижалари.
Режа:

1. 
   Даламбер леммаси.
   
2. 
   Комплекс сонлар майдонининг алгебраик ёпиклиги.
   
3. 
   Умумлашган Виет формулалари.
   
4. 
   Ҳақиқий коэффициентли кўпҳадлар мавҳум
   

илдизларининг қўшма эканлиги
Адабиётлар.( 1,4,5,6)


Даламбер леммаси.
Энди ушбу Даламбер леммаси деб аталувчи қуйидаги леммани исботлаймиз.
Лемма(Даламбер леммаси). Комплекс сонлар майдонидаги мусбат даражали кўпҳад ва а С ихтиёрий комплекс сон бўлиб, f(а)≠ 0 бўлса, у ҳолда шартни каноатлантирувчи с-комплекс сони мавжуд.
Исботи. f(x)= a_o+a₁x +...+а _n-1 x ^n-1 +a_n xⁿ
n-даражали кўпҳад ва f(а)≠ 0 бўлсин. f(х) ни (х-а) нииг даражалари бўйича ёямиз:
f(x)=c_o+c₁(x-a)+... .+с_n(х-а)ⁿ (1)

бу ерда c_j С ва с₀=f(а)≠0 c_n≠0. z = х-а ва

g(z)=c₀+c₁z+...+c_nzⁿ (2)

деб олайлик. Фараз этайлик, c_m g(z) кўпҳаднинг энг кичик индексли (0) нолдан фарқли коэффициентли бўлсин. У ҳолда

f(a+z)=g(z)= g(z)=c₀+c₁z+...+c_nzⁿ (3)
Бу ерда
(4)
деб олсак,
g(z)=c₀+c_mz^m+h(z)z^m+1 (5)
ни ҳосил киламиз. (1) га асосан нинг m даражали илдизлари дан бирини d деб оламиз. У ҳолда
d^m = (6)
бўлади. (5) да
z= d ,0< <1 , R (7)
қийматни қараймиз. (5) ва (6) дан
g( d)=c₀+c_m d^m+h(z) ^m+1d^m+l= c_o-c₀ ^m+ ^m+1d^m+1h( d)= c₀ [1- ^m+1d^m+1h( d)] (8)
ҳосил бўлади. (4) га кўра
d^m+1h( d)= c_m+1d^m+1+…+c_nd^{n n-m-1} , (m
ёки

Энди агар
(9)
деб олсак (m да В>0, чунки с_n ≠0, d ≠0).
(8) ва (9) дан

келиб чиқади. Агар сони 0< <1, шартни қаноатлантирса, у ҳолда , с₀= f(а) ва(3) га асосан бўлганидан g(λd)=f(a+λ d)

тенгсизлик (λ сони ушбу шартни 0< λ -1), т<п да ва 0< λ < 1 m=n бўлса, қаноатлантирса) бажарилади Демак, c=a+ λd деб олсак, лемма исботланган бўлади.
Комплекс сонлар майдонининг алгебраик ёпиқлиги.
F [х] ҳалқа F майдондаги кўпҳадлар ҳалқаси бўлсин.
Таъриф. Агар F майдондаги ихтиёрий даражали кўпҳад шу майдонда ҳеч бўлмаса битта илдизга эга бўлса, бундай F майдонга алгебраик ёпиқ майдон дейилади.
1-теорема (асосий). Комплекс сонлар майдони алгебраик ёпиқдир.
Исботи. f(z) C[z] ихтиёрий мусбат даражали кўпҳад бўлсин.
Агар f(0)=0 бўлса, у ҳолда 0 сони f(z)нинг илдизи бoлади. Шунинг учун f(0)≠0 бўлсин ва М=|f(0)| деб олайлик. r>0 сони олдинги мавзудаги 1-теорема шартини қаноатлантирсин, яъни
Ҳар кандай М>0 ҳақиқий сони учун шундай ҳақиқий r>0 сони мавжуд бўлиб, >r бўлганда,
|f(z)| > М (1)
бўлади

c₁= -(α₁+α₂+...+α_n) 3
Исботи. 4

Агар энди f(а)≠0 бўлса, Даламбер леммасига кўра с С |f(с)|<|f(a)| бўлади. Бу эса (4) га зиддир.
Демак, f(а)=0 ва z=a берилган кўпҳаднинг илдизи.
1-натижа. Даражаси бнрдан катта бўлган ҳар қандай кўпҳад комплекс сонлар майдонида келтириладиган кўпҳаддир.
2-натижа. Комплекс сонлар майдонидаги ихтиёрий даражали (degf(x)=n>0) кўпҳадни чизиқли кўпайтувчиларга ажратиш мумкин.
f(x)=c(x-α₁)(x-α₂)...(x-α_n) (5)
(5) да с кўпҳад бош хадининг коэффициенти, α₁ , α₂ , ..., α_n лар эса илдизлари.
Агар (5) да (x-α₁)кўпайтувчи к₁ марта, (x-α₂) эса к₂ ва х.к. (x-α_m) кўпайтувчи k_m марта қатнашса, (5) ни
f(x)=c(x-α₁)^k₁ (x-α₂)^k₂...(x-α_m)^k_m (6)
кўринишда ёзиш мумкин. Бунда k₁+k₂+...+k_m=n.
(6) га кўпҳаднинг комплекс сонлар майдонидаги каноник ёйилмаси дейилади.
Бу ердаги k_s сонига α_s илдизнинг карралилик сони дейилади.
3-натижа. Комплекс сонлар майдонида п>0 даражали кўпҳад п та илдизга эга.

3. Виет формулалари.
Агар α₁ , α₂ , ..., α_n лар кўпҳаднинг комплекс сонлар майдондаги илдизлари бўлса, у ҳолда
c₁= -(α₁+α₂+...+α_n)
с₂= α₁ α₂ + α₁ α +... + α_n-1α_n (1)
…………………………………
с_n=(-1 )^п α₁ α₂ … α_n
тенглик ўринли.
Исботи.
zⁿ+c₁z^n-1+.. ..+c_n-1z+c_n=(z-α₁)(z-α₂).. .(z- α_n)=zⁿ-( α₁+ α₂+...+ α_n )z^n-1 + +(α₁α₂+α₁α₃+.. .+α_n-1α_n)z^n-2-(α₁α₂α₃+α₁α₂α₄+ .. . +α_n-2α_n.₁α_n)z^n-3+.. .
+(-l)ⁿ α₁α₂.. .α_n .
Бундан z нинг бир хил даражалари олдидаги коэффициентларни тенглаштириб (1) формулаларни ҳосил қиламиз. (1) га Виет умумлашган формулалари дейилади.
Ҳақиқий коэффициентли кўпҳадлар мавҳум илдизларининг қўшма эканлиги.
Аввало ушбу леммани исботлаймиз.
Леммa. кўпҳaд x нинг қўшмa кoмплекс қиймaтлaридa қўшмa кoмплекс қиймaтлaр қaбул қилaди.
Исбoти. вa қўшмa кoмплекс сoнлaр бўлсин. У ҳoлдa
(1)
тенгликнинг бaжaрилишини кўрсaтaмиз.
Бунинг учун сoни вa пaрaметрни oлиб гa нинг дaрaжaлaри бўйичa Тейлор фoрмулaсини қўллaймиз:
(2)
(2) нинг ўнг тoмoнидaги кoэффициентлaр
(3)
ҳaқиқий сoнлaрдир. (2) ни (3) дaн фoйдaлaниб қуйидaгичa ёзиб oлaмиз.
₍₄₎
Энди aгaр бу (4) -тенгликдa деб oлсaк
_{(5)
ҳосил бўлади. Бунда}

Агaр (4) -тенгликдa деб oлсaк
<sub>(6)
га эга бўламиз. (5) ва (6) дан

келиб чиқади.</sub>
Энди ушбу теоремани исботлаймиз.
Теорема. Агар α=a+bi (b≠0) f(x) ҳақиқий коэффнциентли кўпҳаднинг илдизи бўлса, у ҳолда α = a-bi ҳам шу кўпҳаднинг илдизи бўлади.
Исботи. Леммага кўра . Шартга асосан f(α)=0. Демак _.