5-mavzu Skalyar maydon. Skalyar maydonning sath chiziqlari, yo`nalish bo`yicha hosilasi, gradienti, yuksaklik chiziqlari va sirtlari. Vektor maydon, vektor chiziqlar, vektor naychalar. Oriyentirlangan va oriyentirlanmagan sirtlar



Download 0,53 Mb.
bet3/5
Sana19.01.2023
Hajmi0,53 Mb.
#900495
1   2   3   4   5
Bog'liq
5-mavzu Skalyar maydon. Skalyar maydonning sath chiziqlari, yo`n

Skalyar maydon gradienti.
Ta’rif. differensiallanuvchi funksiya bilan berilgan skalyar maydonning nuqtadagi gradienti deb, bilan belgilanuvchi vektorga aytilib, uning proeksiyalari vazifasini shu funksiyaning xususiy hosilalari qiymatlari bajaradi, ya’ni
. (54)
Gradientning proeksiyalari nuqtani tanlashga bog‘liq bo‘ladi va shu nuqtaning koordinatalari o‘zgarishi bilan o‘zgaradi. Binobarin, funksiya bilan berilgan skalyar maydonning har bir nuqtasiga ma’lum bir vektor - shu funksiyaning gradienti mos qo‘yiladi.
Gradientning ta’rifidan foydalanib, yo‘nalish bo‘yicha hosilani ifodalovchi (54) formulani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
(55)
bu yerda yo‘nalishdagi birlik vektor. Demak, berilgan yo‘nalish bo‘yicha hosila funksiya gradienti bilan shu yo‘nalishning birlik vektori ko‘paytmasiga teng. Skalyar ko‘paytma ta’rifidan foydalanib, (55) formulani

ko‘rinishda ifodalash mumkin, bunda birlik vektor bilan gradient orasidagi burchak. bo‘lgani uchun
(56)
bo‘ladi. Bundan yo‘nalish bo‘yicha hosila bo‘lganda, ya’ni da eng katta qiymatga erishadi. Shu bilan birga bu eng katta qiymat ga teng, ya’ni bu holda
(57)
Shunday qilib, kattalik hosilaning nuqtadagi mumkin bo‘lgan eng katta qiymati bo‘ladi, ning yo‘nalishi esa nuqtadan chiquvchi shunday nurning yo‘nalishi bilan mos tushadiki, u bo‘ylab funksiya hammasidan ko‘ra tezroq o‘zgaradi, ya’ni gradientning yo‘nalishi funksiyaning eng tez ortishidagi yo‘nalishidir. Bu yuqorida keltirilgan gradientning koordinatalar sistemasidan foydalanilgan ta’rifi o‘rniga endi boshqa koordinatalar sistemasini tanlashga bog‘liq bo‘lmagan invariant ta’rifni berishga imkon beradi.
Ta’rif. skalyar maydonning gradienti deb, bu maydon o‘zgarishining eng katta tezligini ifodalovchi vektorga aytiladi.
Agar bo‘lsa, u holda yo‘nalish bo‘yicha hosila ga teng eng kichik qiymat bo‘ladi. Bu yo‘nalishda (qarama-qarshi yo‘nalishda) funksiya hammasidan tezroq kamayadi.
Agar bo‘lsa, yo‘nalish bo‘yicha hosila nolga teng. Endi skalyar maydonning gradienti yo‘nalishi bilan sath sirtlari orasidagi bog‘lanishni o‘rganamiz.
funksiyaning maydonning har bir nuqtasidagi gradientining yo‘nalishi shu nuqtadan o‘tuvchi skalyar maydonning sath tekisligiga o‘tkazilgan normalning yo‘nalishi bilan mos tushishini isbotlaymiz. Buning uchun ixtiyoriy nuqtani tanlab olamiz. Bu nuqtadan o‘tuvchi sath sirti tenglamasi
(58)
ko‘rinishda yoziladi, bu yerda .
nuqtadan shu tekislikka o‘tkazilgan normalning tenglamasini tuzamiz:

Bundan,

proeksiyalarga ega bo‘lgan normalning yo‘naltiruvchi vektori funksiyaning nuqtadagi gradienti bo‘ladi.
Shunday qilib, har bir nuqtadagi gradient berilgan nuqtadan o‘tuvchi sath sirtiga o‘tkazilgan urinma tekislikka perpindikulyar bo‘ladi, ya’ni uning tekislikka proeksiyasi nolga teng. Demak berilgan nuqtadan o‘tuvchi sath sirtiga urinma bo‘lgan istalgan yo‘nalish bo‘yicha hosila nolga teng.
Funksiya gradientining ba’zi xossalarini ko‘rsatamiz:
. , bu yerda o‘zgarmas kattalik.



Bu xossalar funksiyaning hosilasini topish qoidalari bilan mos tushishi ravshan.

Download 0,53 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish