5-mavzu: Sirtning birinchi kvadratik formasi va uning tatbiqlari. Kerakli formulalar: Masalalar yechish namunalari

5-mavzu: Sirtning birinchi kvadratik formasi va uning tatbiqlari.
Kerakli formulalar:




Masalalar yechish namunalari
1 aylanma sirtning birinchi kvadratik formasini aniqlang:
Yechish:



2 Sirtning birinchi kvadratik formasi
bo`lib, sirt ustida chiziq berilgan .
Bu chiziq yoyining uzunligi topilsin.
Yechish:
.
Javob: S= .
3 katenoid ustida chiziqlar berilgan. Ular orasidagi burchakni toping.
Yechish: Katenoidning birinchi kvadratik formasi
, , ,

Javob:

4. To`g`ri gelikoid ustuda chiziqlar bilan chegaralangan to`rtburchakni yuzini hisoblang.

Yechish: ,
S= .
Isboti:


Javob:
Mustaqil yechish uchun masalalar :
1. Quyudagi sirtlarning birinchi kvadratik formasi hisoblansin
a) Tekislik . Javob: .
b) Tekislik Javob : .
v) Sfera Javob: .
g) Psevdosfera .
Javob: .
2. gelikoidning formasi hisoblansin
Javob: .
3. sirtning formasi hisoblansin.
Javob : .
4. Slindrning chiziqli elementini aniqlang.
Javob: .
5. Konusning chiziqli elementini aniqlang.
Javob .
6. To`g`ri doiraviy konusning yasovchilari egri chiziq bilan kesishib burchak tashkil etadi , ni aniqlang.
Yechish: yasovchilar uchun berilgan chiziq uchun , .
7. Torning chiziqli elementi topilsin.
Javob: .
8. gelikoidda koordinat chiziqlar tashkil etgan burchakni teng ikkiga ajratuvchi chiziqlar tenglamasi aniqlansin.
Javob: .
9. Sirtnig chiziqli elementi ko`rinishda sirtga tegishli chiziqlar kesishib xosil qilingan egri uchburchak peremetrini aniqlang. Javob : .
10. sirtdagi chiziqqa tegishli nuqtalar orasidagi yoy uzunligini aniqlang. Javob : .
11. sirt ustudagi chiziqlar kesishib tashkil etgan burchajni aniqlang : Javob : .
12. Chiziqli elementi bo`lgan sirtdagi chiziqlar tashkil etgan burchakni aniqlang. Javob: .
13. chiziqlar sirtda yotib burchak ostida keshadi. burchak topilsin. Javob: .
14. Chiziqli elementi bo`lgan sirtda va chiziqlar tashkil etgan burchakni aniqlang. Javob:
15. sirtdagi va chiziqlar tashkil etgan burchakni aniqlang. Javob:
16. Chiziqli elementi bo`lgan sirtda chiziqning nuqtalari orasidagi yoy uzunligini hisoblang.
Javob: .
17. Chiziqli elementi bo`lgan sirtga tegishli chiziqlar tashkil etgan egri uchburchak yuzini aniqlang.
Javob: .
18. To`g`ri gelikoid va katenoidlarning o`zaro izometrik munosabatda ekanini isbotlang.
19. differensial tenglamalar orqali aniqlangan chiziqlar oilasining ortogonalligini isbotlang.
20. Gelikoiddagi differensial tenglamalar orqali aniqlangan chiziqlar oilasining ortogonal sistema tashkil etishini isbotlang.
21. Sfera yuzini aniqlang.
Yechish:

Javob: .
Foydalanilgan adabiyotlar
1. Wilhelm Klingenberg, A Course in differential geometry,1978 by Springer-
Verlag, New York Inc. Printed in the United States of America.
2. M.A.Arstrong, Basic Tpology, Springer, 1998 y.
3.Сборник задач по дифференциал`ной геометрии. Под ред. Феденко А.С. М., 1979