5-mavzu. Ko‘p omilli ekonometrik tahlil

CHiziqli va chiziqsiz ko‘p omilli regression bog‘lanishlar.

Bog‘liqlik shaklini tanlash usuli ikki bosqichda bajariladi.

1. 
   Eng ma’qul bo‘lgan funksiyani tanlaymiz.
   
2. 
   Tanlangan funksiyaning parametrlarini hisoblaymiz.
   

5.1.-rasm. Bog‘liqlik shaklini tanlash sxemasi

Funksiya turi:

1. 
   CHiziqli
   

Y  a₁ X
Y  a₀  a₁ X

2. 
   Ikkinchi darajali parabola:
   

Y

2
Y  a X ²
Y  a₂ ^,
Y  a  a X  a X ²  a X ³
0 1 2 3
X

3. 
   Giperbola
   

Y

Y  ^C
X
Y  b 
C


X  a

Y=C/X

4. 
   Darajali funksiya
   

0
Y  a X ^{a1 Y}

Regression taxlil asosida tanlangan omillar asosida bog‘lanish turi aniqlanadi. Natijaviy ko‘rsatkich Y va unga ta’sir etuvchi omillar guruxi X1, X2, ......, Xn bog‘lanish turini umumiy ko‘rinishini quyidagi funksiya yordamida ifodalash mumkin:

y  f (x₁, x₂, , x_n )

Analitik ifodalarining ko‘rinishiga qarab bog‘lanishlar to‘g‘ri chiziqli (yoki umuman chiziqli) va egri chiziqli (yoki chiziqsiz) bo‘ladi. Agar bog‘lanishning tenglamasida omil belgilar (X₁, X₂, ......., X_K) faqat birinchi daraja bilan ishtirok etib, ularning yuqori
K

darajalari va aralash ko‘paytmalari qatnashmasa, ya’ni
y_x  a₀  _a_i Х_i
i1
ko‘rinishda

bo‘lsa, chiziqli bog‘lanish yoki to‘g‘ri chiziqli bog‘lanish deyiladi.

Ifodasi to‘g‘ri chiziqli (yoki chiziqli) tenglama bo‘lmagan bog‘lanish egri chiziqli (yoki chiziqsiz) bog‘lanish deb ataladi. Xususan,

K K
y  a  _a x  _b xⁿ n = 1...s

x 0 i i i1
i i
i1

giperbola _{y  a0}

• 
  a_i
  

K


^{i1 x}i
(5.1)

darajali ^y_x
K

 a_ x
a_i i
i1

va boshqa ko‘rinishlarda ifodalanadigan bog‘lanishlar egri

chiziqli (yoki chiziqsiz) bog‘lanishga misol bo‘la oladi.

2. Umumlashtirilgan va bavosita “eng kichik kvadratlar usuli”

Regressiya tenglamasining koeffitsientlarini eng kichik kvadratlar usuli asosida hisoblash mumkun. Mezon: haqiqiy miqdorlarning tekislangan miqdorlardan farqining kvadratlari yig‘indisi eng kam bo‘lishi zarur:

t
S  _Y  Y 2  min
(5.2)

Misol: Y_t  a₀  a₁t

t
Qiymat _Y  Y 2
eng kam bo‘lishi uchun birinchi darajali hosilalar nolga teng

bo‘lishi kerak.



t
S  _Y  Y 2

 _Y  a₀

• 
  
  1
  a t 2
  

 min
(5.3)

S
a₀
 0 ^;

S
a₁
^ n  a₀  a_{1 }t  _ y
 0 ^;
(5.4)

a

1

_ 0
^ _t  a _t ²  _ y  t

Normal tenglamalar tizimi.

t
S  _Y  Y 2  min
(5.5)

Demak,


Y  a  a x  a x²  ...  a xⁿ
(5.6)

0 1 1 n

^S  _2Y  a

a X a X ²  ... a

X ⁿ  1  0

n
a₀
0 1 2 n

S
a₁
 _2Y  a₀
a₁X a₂
X ²  ... a
X ⁿ   X   0
(5.7)

..............................................................................

^S  _2Y  a

a X a X ²  ... a

X ⁿ   X ⁿ   0

a_n
0 1 2 n

CHiziqli funksiya bo‘yicha tekislanganda


Y  a₀  a₁ X

S  _Y  a₀

• 
  a X ²  min
  

(5.8)

1
^{ S}  _2Y  a
 a X  (1)  0

^ a
^ S0
0 1
(5.9)


^_a₁
 _2Y  a₀  a₁ X  ( X )  0

Bundan,




^_ y  n  a₀  a₁  _ X  0

_ y  X  a₀  _ X  a₁  _ X  0
2
(5.10)


^_n  a₀  a₁  _ X _ y

2
_a₀  _ X  a₁  _ X
_ y  X
(5.11)

Iqtisodiy qatorlar dinamikasi tendensiyasini aniqlash vaqtida ko‘pchilik hollarda turli darajadagi polinomlar:^1
 _ ^k _^u i  1, 0,1,..., k 

_ 0 i _
y(t)  a  _a t ⁱ _{ }

 i1 
u  1, 1
(5.12)

va eksponensional funksiyalar qo‘llaniladi:

0 ^ i

u
^  ^{a } k ^{a t i} 
i  1, 0,1,..., k 

y(t)  _e
_
i 1 _
_
u  1, 1
. (5.13)

SHuni qayd etib o‘tish lozimki, funksiya shakli tenglashtirilayotgan qatorlar dinamikasi xarakteriga muvofiq, shuningdek, mantiqiy asoslangan bo‘lishi lozim.

Polinomning eng yuqori darajalaridan foydalanish ko‘pchilik hollarda o‘rtacha kvadrat xatolarining kamayishiga olib keladi. Lekin bunday vaqtlarda tenglashtirish bajarilmay qoladi.
Tenglashtirish parametrlari bevosita eng kichik kvadratlar usuli yordamida baholanadi. Eksponensional funksiya parametrlarini baholash uchun esa boshlang‘ich qatorlar qiymatini logarifmlamoq lozim.
Normal tenglamalar tizimi quyidagicha bo‘ladi:

1. 
   
   k
   k tartibli polinom uchun:
   

^na₀

 a_{1 }t  a_2
t ²  ...  a
_tk
 _ y

_a₀

1

2

k

_t  a _t ²  a
_t ³  ...  a
_t^k1  _ yt

(5.14)

_........................................................................

a

1

_ 0

2

k
^ _t^k  a _t^k1  a
_t^k2  ...  a
_t 2k
 _ yt ^k

2. 
   
   k
   eksponensional funksiya uchun:
   

^na₀

 a_{1 }t  a_2
t ²  ...  a
_tk
 _ln y

_a₀

1

2

k

_t  a _t ²  a
_t ³  ...  a
_t^k1  _t ln y

(5.15)

_........................................................................

a

1

_ 0

2

k
^ _t^k  a _t^k1  a
_t^k2  ...  a
_t 2k
 _t^k ln y

Agar tendensiya ko‘rsatkichli funksiyaga ega bo‘lsa, ya’ni

¹Gujarati D.N. Basic Econometrics. McGraw-Hill, 4^th edition, 2003 (Gu),Inc.p. 233

a

t
y_t  a_{0 1}
(5.16)

bo‘lsa, ushbu funksiyani logarifmlab, parametrlarini eng kichik kvadratlar usuli yordamida aniqlash mumkin. Ushbu funksiya uchun normal tenglamalar sistemasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:


^_n ln a₀  ln a_{1 }t  _ln y

2
_ln a_{0 }t  ln a_{1 }t  _t ln y
(5.17)