5-Mavzu: Algebraik va transsendent tenglamalarni taqriban yechish usullari. Reja

3. Ildizlarni ajratish.
Tenglama(4.4) ning yakkalangan haqiqiy ildizlarini topish ikki bosqichdan iborat bo’ladi:
a)ildizlarni ajratish, ya’ni tenglama (5.4) ning bitta va faqat bitta ildizi joylashgano’ta qisqa [ , ] kesmani aniqlash;
b) taqribiy ildizlarnianiqlashtirish, ya’ni ularni berilgan aniqlik bilan topish.
Ildizlarni ajratishda matematik analizdagi teoremadan foydalanamiz. Teorema: Agar uzluksiz f(x) funksiya [ , ] kesmaning chetki nuqtalarida turli ishorali qiymatlarni qabul qilsa, ya’ni f( )f( )<0 bo’lsa, u holda [ , ] kesmaning ichida tenglama (5.4) ning hech bo’lmaganda bitta ildizi mavjud, yani shunday bir e( , ) son mavjudki, f( )=0 bo’ladi. Topilgan ildiz yagona bo’ladi, agar ( , ) intervalda hosila mavjud va o’zgarmas ishorali bo’lsa, ya’ni 0 yoki <0 bo’lsa. Ma’lumki n- tartibli algebraik tenglama.

n tadan oshmaydigan haqiqiy ildizlarga ega bo’ladi.¹
Tenglama ildizlarini ajratishning bir necha usullari mavjud : Jadval, hosila, grafik usullar.
1-misol. tenglamaning ildizlarini ajratish talab qilingan bo’lsin.
Yechish. Ushbu misolni jadval usulidan foydalanib yechamiz. Quyidagi taxminiy jadvalni tuzamiz:

X	-	-3	-1	0	1	3	+
F(x)	-	-	+	+	-	+	+

O’z navbatida qaralayotgan tenglama uchta haqiqiy ildizlarga ega, ular (-3,-1), (0,1), va (1,3) kesmalarda joylashganligini ko’rish mumkin.
2-misol. tenglamaning ildizlarini ajrating. Yechish: tenglamaning ildizlarini hosila yordamida ajratamiz. Bunda shuning uchun bo’ladi x=1 da ko’rish mumkinki

ekanligini. O’z navbatida, tenglama faqat ikkita haqiqiy ildizga ega bo’ladi. Ulardan biri intervalda, ikkinchisi esa intervalda joylashgan bo’ladi.
3-misol. tenglamaning haqiqiy ildizlari sonini aniqlang.
Yechish. Funksiyaning hosilasini hisoblaymiz. hamda
,
ekanligidan, tenglama faqat bitta haqiqiy ildizga ega.