|
5-Ma’ruza
Mavzzu:
Grin fоrmulasi. Grin formulasining tadbiqlari. Ikkinchi tur egri chiziqli intеgralni
integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmasligi.
Ma’lumki, Nyuton-Leybnits formulasi
funksiyaning
oraliq bo’yicha olingan
aniq integralini shu funksiya boshlang’ich funksiyasining oraliq chekkalari (chegaralari) dagi
qiymatlari orqali ifodalar edi.
Biror
sohada
berilgan
uzluksiz funksiyaning ikki karrali
integralini tegishli funksiyaning shu soha chegarasidagi qiymatlari orqali (aniqrog’i, soha
chegarasi bo’yicha olingan egri chiziqli integrali orqali) ifodalaydigan formula ham mavjud.
Quyida bu formulani keltiramiz.
1
0
. Grin formulasi.
Yuqoridan
funksiya grafigi, yon tomonlardan
,
vertikal chiziqlar hamda pastdan
funksiya grafigi bilan
chegaralangan soha egri chiziqli trapesiyani qaraylik. Bu sohani
bilan, uning chegarasi –
yopiq chiziqni
bilan belgilaylik (1-chizma).
1-chizma
Ravshanki,
funksiya grafigi,
funksiya grafigi hamda
.
funksiya shu
sohada uzluksiz bo’lib,
xususiy hosilaga ega va u ham
da uzluksiz bo’lsin. U holda ushbu
x
f
a, в
D
2
R
D
y
,
x
f
D
dxdy
y
,
x
f
x
y
2
в
x
a
a
x
в
x
x
y
1
в
x
a
D
D
x
B
A
2
x
C
E
1
AC
A
B
CB
C
E
D
y
,
x
P
D
y
y
,
x
P
D
(D)
B
C
A
E
a
в
0
x
y
integral mavjud bo’ladi va oldingi ma’ruzadagi formulaga ko’ra
bo’ladi. Endi
bo’lishini e’tiborga olib, quyidagini topamiz:
Oldingi ma’ruzadagi formulaga binoan
,
bo’ladi. Demak,
.
Ravshanki,
,
.
Bu tengliklarni hisobga olib quyidagini topamiz:
Demak,
(1)
D
dxdy
y
y
,
x
P
dx
dy
y
y
,
x
P
dxdy
y
y
,
x
P
в
a
x
x
D
2
1
x
,
x
P
x
,
x
P
y
,
x
P
dy
y
y
,
x
P
x
y
x
y
x
x
1
2
2
1
2
1
в
a
в
a
D
dx
x
,
x
P
dx
x
,
x
P
dxdy
y
y
,
x
P
1
2
B
A
в
a
dx
y
,
x
P
dx
x
,
x
P
2
C
B
в
a
dx
y
,
x
P
dx
x
,
x
P
1
C
E
A
B
C
E
B
A
D
dx
y
,
x
P
dx
y
,
x
P
dx
y
,
x
P
dx
y
,
x
P
dxdy
y
y
,
x
P
CB
dx
y
,
x
P
0
EA
dx
y
,
x
P
0
D
E
A
A
B
B
C
C
E
E
A
A
B
B
C
C
E
D
.
dx
y
,
x
P
dx
y
,
x
P
dx
y
,
x
P
dx
y
,
x
P
dx
y
,
x
P
dx
y
,
x
P
dx
y
,
x
P
dx
y
,
x
P
dx
y
,
x
P
dxdy
y
y
,
x
P
D
D
.
dx
y
,
x
P
dxdy
y
y
,
x
P
Endi, yuqoridan
, pastdan
chiziqlar, yon tomondan esa
,
funksiyalar grafiklari bilan chegaralangan soha egri chiziqli trapesiyani qaraylik. Bu
sohani
bilan, uning chegarasi – yopiq chiziqli
bilan belgilaylik (2-chizma).
2-chizma
funksiya shu
sohada uzluksiz bo’lib,
xususiy hosilaga ega va bu
hosila
da uzluksiz bo’lsin. U holda
(2)
bo’ladi.
Bu formulaning to’g’riligi yuqoridagidek mulohaza yuritish bilan isbotlanadi.
Endi
fazoda qaraladigan
soha yuqoridagi ikki holda qaralgan sohaning har birining
xarakteriga ega bo’lgan soha bo’lsin,
esa uning chegarasi bo’lsin. Bu
sohada ikkita
va
funksiyalar uzluksiz bo’lib, ular
,
xususiy hosilalarga
ega hamda bu hosilalar ham
da uzluksiz bo’lsin. Ravshanki, bu holda (1) va (2) formulalar
o’rinli bo’ladi. Ularni hadlab qo’shib ushbuni topamiz:
.
(3)
Bu Grin formulasi deb ataladi.
c
y
d
y
y
x
1
y
x
2
D
D
y
,
x
Q
D
x
y
,
x
Q
D
D
D
dy
y
,
x
Q
dxdy
x
y
,
x
Q
2
R
D
D
D
y
,
x
P
y
,
x
Q
y
y
,
x
P
x
y
,
x
Q
D
D
D
dxdy
y
y
,
x
P
x
y
,
x
Q
dy
y
,
x
Q
dx
y
,
x
P
0
x
y
A
E
B
C
(D)
d
c
Demak, Grin formulasi sohasi bo’yicha olingan ikki karrali integralni shu soha chegarasi
bo’yicha olingan egri chiziqli integral bilan bog’laydigan formula ekan.
Biz yuqorida Grin formulasi maxsus ko’rinishdagi
sohalar (egri chiziqli trapesiyalar)
uchun keltirdik. Aslida bu formula ancha keng sinfdagi sohalar uchun ham to’g’ri bo’lib, bu fakt
u sohalarni chekli sondagi egri chiziqli trapesiyalar yig’indisi sifatida tasvirlash bilan isbot
qilinadi.
2
0
. Grin formulasining ba’zi bir tatbiqlari.
1).
Shaklning yuzini topish.
Grin formulasidan foydalanib, yassi shaklning yuzini sodda
funksiyalarning egri chiziqli integrallari yordamida hisoblanishini ko’rsatish qiyin emas.
Haqiqatdan ham, (3) formulada
,
deyilsa, u holda
bo’ladi. Demak,
.
Agar (3) formulada
,
deyilsa, u holda
(4)
bo’ladi.
(3) formulada
,
deb olinsa,
sohaning yuzi
(
5)
bo’ladi.
1-misol.
Ushbu
ellips bilan chegaralangan shaklning yuzi topilsin.
(5) formulaga ko’ra
.
D
y
y
,
x
P
0
y
,
x
Q
D
dxdy
dx
y
D
D
D
ydx
D
0
y
,
x
P
x
y
,
x
Q
D
xdy
D
y
y
,
x
P
2
1
x
y
,
x
Q
2
1
D
D
ydx
xdy
D
2
1
2
0
t
t
sin
в
y
,
t
cos
a
x
2
0
2
1
2
1
dt
t
sin
a
t
sin
в
t
cos
в
t
cos
a
ydx
xdy
D
D
aв
dt
t
sin
t
cos
aв
2
0
2
2
2
1
Do'stlaringiz bilan baham: |
