5-Amaliy Mashg’ulot

FAZOVIY FAZO USULI.


Reja:

1. 
   Asosiy tushuncha va ta’riflar
   
2. 
   Fazaviy fazo usuli
   
3. 
   Oddiy chiziqli tizim uchun fazoviy trayektoriyalar.
   
4. 
   masalalar.
   

Tizimlarning tarkibida nochiziqli elementning bo‘lishi uning dinamikasini nochiziqli differensial tenglama orqali yozilishiga olib keladi. Bu esa bunday tizimlarni tekshirish masalasini murakkablashtiradi. Chunki nochiziqli differensial tenglamalarni yechishning yagona usuli mavjud emas. Hozirda nochiziqli tizimlarni tekshirishning turli xil analitik va grafoanalitik usullari mavjuddir. Eng ko‘p qo‘llanilayotganlari quyidagilar:
– fazaviy fazo usuli;
– garmonik chiziqlantirish usuli;
– chastotaviy usullar;
– raqamli modellashtirish usullari.


2.Fazaviy fazo usuli

Fazaviy fazo – koordinatalari qiymati ko‘rilayotgan tizim holatini to‘la-to‘kis aniqlovchi fazodir. Ikkinchi tartibli differensial tenglama orqali tavsiflanuvchi tizimni tadqiq qilganda fazaviy fazo fazaviy tekislikka o‘zgaradi.

Bu usul umumiy va samarador usul bo‘lib, jarayon haqida yaqqol geometrik tasvirlash imkonini beradi. U jarayonni, ya’ni tizimning harakatini fazoda tasvirlashga asoslangandir. Bu yerda faza jarayonning ayrim bosqichlari yoki qismlari deb tushuniladi.
Umumiy holda nochiziqli tizimning dinamikasini quyidagicha yozish mumkin:
. (6.1)

(6.1) tenglamani birinchi tartibli differensial tenglamalar tizimi shaklida tasvirlab olish mumkin

(6.2)
bu yerda, x₁, x₂, ..., x_n – vaqt bo‘yicha o‘zgaruvchi, ya’ni izlanayotgan vaqt funksiyalaridir (x₁ rostlanuvchi kattalik deyishimiz mumkin va x₂, ..., x_n yordamchi o‘zgaruvchilar); g va f – boshqariluvchi (topshiriq beruvchi) va tashqi ta’sir (qo‘zg‘atuvchi) ta’sirlar.
Tenglamalar tizimini yechish uchun boshlang‘ich shartlar ma’lum bo‘lishi kerak. Faraz qilaylik differensial tenglamaning tartibi n=2 ga teng bo‘lsin. vaqtda o‘zgaruvchilar ma’lum qiymatlarga ega bo‘lsin: . Bu qiymatlarni to‘g‘ri burchakli koordinatalar tizimida belgilab olishimiz mumkin (6.9-rasm). vaqtda o‘zgaruvchilar ma’lum qiymatga ega bo‘ladi. Bu yerda M nuqta tasvirlovchi nuqta deyiladi.
Tasvirlovchi nuqta vaqt davomida harakatda bo‘ladi. Qaralayotgan to‘g‘ri burchakli koordinatalar tizimi fazalar fazosi deyiladi. Tasvirlovchi nuqta qoldirgan iz esa fazalar trayektoriyasi deyiladi.
Tizimning harakatini bunday tasvirlaganimizda vaqt o‘zgaruvchisi ishtirok etmaydi. Bu esa fazalar fazosi o‘tkinchi jarayonini miqdorini emas, balki sifatinigina aniqlash imkonini beradi.



6.9-rasm. M tasvirlovchi nuqtani faza tekisligidagi trayektoriyasi.

Odatda fazalar fazosi koordinatalar o‘qlariga rostlanuvchi kattalikning qiymati emas, balki uni turg‘un qiymatdan farqi qo‘yiladi. Shuning uchun turli boshlang‘ich qiymatlarda turlicha fazalar trayektoriyasi hosil bo‘ladi.

Ma’lumki tizimning turg‘un holatida rostlanuvchi kattalik berilgan qiymatga teng bo‘ladi. Uning hosilasi ham «0»ga teng bo‘ladi. Bu esa koordinata boshi tizimning turg‘un holatiga mos kelishini ko‘rsatadi. Fazalar trayektoriyasini qurish uchun tizimning dinamikasini ifodalovchi tenglamadan o‘zgaruvchi vaqt olib tashlanadi, ya’ni


(6.3)
(6.3) tenglamadan quyidagini hosil qilamiz:


. (6.4)

(6.4) tenglama fazalar trayektoriyasining tenglamasi deyiladi. Fazalar trayektoriyasini qurish vaqtida quyidagi qoidalarga amal qilish kerak:

1. Yuqori yarim tekislikda fazalar trayektoriyasi chapdan o‘ngga yo‘naltirilgan bo‘ladi.
2. Pastki yarim tekislikda o‘ngdan chapga yo‘nalgan bo‘ladi. Chunki .
3. Fazalar trayektoriyasi abssissa o‘qini to‘g‘ri burchak ostida kesib o‘tadi, chunki .

4. Bitta tizimning fazalar trayektoriyasi turli boshlang‘ich qiymatlarda bir-birini kesib o‘tmaydi.
6.10-rasm. Faza tekisligi.

Fazaviy portret hamda vaqt funksiyasida koordinatalar o‘zgarishini aks ettiruvchi nuqtalarga misollar 6.11-rasmda keltirilgan.

Ushbu usulning afzalligi turli boshlang‘ich shartlardagi o‘tkinchi jarayonning shaklini yagona fazalar portretida ifodalash mumkin. Kamchiligi esa 3 va undan ortiq tartibli tizimni tadqiq qilish murakkabdir.
Bu usul yordamida quyidagi masalalarni yechish mumkin:

1. 
   Tizimning mumkin bo‘lgan ishlash rejimlarini aniqlash;
   
2. 
   Tizimning turg‘unligi haqida va uning chegaraviy qiymatlari to‘g‘risida xulosa chiqarish;
   
3. 
   Avtotebranish va uning parametrlarini aniqlash;
   
4. 
   Boshlang‘ich shartlar sohalarini aniqlash;
   
5. 
   Tizimning sifat ko‘rsatkichlarini aniqlash, ya’ni tebranishlar soni, maksimal og‘ish va h.k.
   

a)

b)

6.11-rasm. Faza tekisligi.

Shunday qilib, fazaviy fazo dinamik jarayonlarning geometrik shaklini tasvirlaydi. Bu geometrik tasvirlashda faqat koordinatalar qatnashadi, vaqt esa qatnashmaydi.

Nazorat va muhokama savollari

1. 
   Fazalar trayektoriyasini qurish vaqtida qanday qoidalarga amal qilinadi?
   
2. 
   Fazaviy fazo usulining avzallik va kamchiliklarini tushuntirib bering.