4-tajriba ishi mavzu: Algoritmlarni loyihalash. Funksiyalarning qiymatini xisoblashning Gorner algoritmi. Kvadrat va kubik tenglama ildizlarini aniqlash Ishdan maqsad

911-20 guruh talabasi
Otaxonov Kamoladdinning
Algoritm Loyihalash fanidan
4-TAJRIBA ISHI
Mavzu: Algoritmlarni loyihalash. Funksiyalarning qiymatini xisoblashning Gorner algoritmi. Kvadrat va kubik tenglama ildizlarini aniqlash


Ishdan maqsad: Algoritmlarni samaradorligini baholash. Funksiyalarning qiymatini xisoblashning Gorner algoritmi. Kvadrat va kubik tenglama ildizlarini aniqlash algoritmini ishlab chiqish.


Nazariy qism


Gorner algoritmi. Ko`phadning ildizlari.
(Etyen Bezu (1730-1783) – fransuz matematigi). P(x) ko`phadni x-a ikkihadga bo`lganda bo`linmada Q(x), qoldiqda R(x) qolsin:
P(x)=(x-a)Q(x)+R(x)
Agar bu munosabatga x=a qo`yilsa, P(a)=0∙Q(a)+R(a)=R(a)=r hosil bo`ladi. Shu tariqa ushbu teorema isbotlanadi:
1-teorema (Bezu). P(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+...+a_n-1x+a_n(a≠0) ko`phadni x-a ga bo`lishdan chiqadigan r qoldiq shu ko`phadning x=a dagi qiymatiga teng, r=P(a).
Masalan, 1) x<sup>5</sup>+x+20 ni x+2 ga bo`lishdan chiqadigan qoldiq r=(-2)⁵+(-2)+20=-14; 2) x⁵+x+34 ni x+2 ga bo`lishdan chiqadigan qoldiq r=(-2)<sup>5</sup>+(-2)+34=0.
Demak, x=-2 soni shu ko`phadning ildizi.
Natijalar. n€N bo`lganda:

1. 
   xⁿ-aⁿ ikkihad x-a ga bo`linadi. Haqiqatan, P(a)=aⁿ-aⁿ=0;
   
2. 
   xⁿ+aⁿ ikkihad x-a ga bo`linmaydi. Haqiqatan, P(a)=aⁿ+aⁿ=2xⁿ≠0;
   
3. 
   x²ⁿ-a²ⁿ ikkihad x+a ga bo`linadi. Haqiqatan, P(-a)=(-a)²ⁿ-a²ⁿ=0;
   
4. 
   x²ⁿ⁺¹-a²ⁿ⁺¹ ikkihad x+a ga bo`linmaydi. Haqiqatan, P(-a)=(-a)²ⁿ⁺¹-a²ⁿ⁺¹=-2a²ⁿ⁺¹≠0;
   
5. 
   x²ⁿ⁺¹-a²ⁿ⁺¹ ikkihad x+a ga bo`linadi. Haqiqatan, P(-a)=(-a)²ⁿ⁺¹+a²ⁿ⁺¹=0;
   
6. 
   x²ⁿ+a²ⁿ ikkihad x+a ga bo`linmaydi. Haqiqatan, P(- a)=a²ⁿ+a²ⁿ=2a²ⁿ≠0;
   

Bo`lish bajariladigan hollarda bo`linmalarning ko`rinishini aniqlaymiz:
x<sup>5</sup>-a<sup>5</sup>=(x-a)(x<sup>4</sup>+ax<sup>3</sup>+a<sup>2</sup>x<sup>2</sup>+a<sup>3</sup>x+a<sup>4</sup>);
x<sup>5</sup>+a<sup>5</sup>=(x+a)(x<sup>4</sup>-ax<sup>3</sup>+a<sup>2</sup>x<sup>2</sup>-a<sup>3</sup>x+a<sup>4);</sup>
x<sup>6</sup>-a<sup>6</sup>=(x-a)(x<sup>5</sup>+ax<sup>4</sup>+a<sup>2</sup>x<sup>3</sup>+a<sup>3</sup>x<sup>2</sup>+a<sup>4</sup>x+a<sup>5</sup>);
x<sup>6</sup>-a<sup>6</sup>=(x+a)(x<sup>5</sup>-ax<sup>4</sup>+a<sup>2</sup>x<sup>3</sup>-a<sup>3</sup>x<sup>2</sup>+a<sup>4</sup>x-a<sup>5</sup>).
Bulardan ko`rinadiki, bo`linma albatta bir jinsli ko`phad bo`lib, x ning darajalari kamayib, a ning darajalarida o`sish tartibida joylashgan va agar bo`luvchi a+x bo`lsa, koeffitsiyentlar +1 va -1 almashib keladi, agar bo`luvchi x-a bo`lsa, bo`linmada hosil bo`lgan ko`phadning koeffitsiyentlari 1 ga teng bo`ladi. Bu xulosalarni istagan darajali ko`phadlar uchun umumlashtirish mumkin.