4. mavzu bo`linish alomatlari. Ekub va ekuk. Qoldiqli bo`lish. Taqqoslamalar

Natija: a + b  c (mod m) va – b  – b (mod m) dan a c –b(mod m).
Masalan, 78 28 (mod5)va 78=50+28 yoki 78=75+3 5028 – 28(mod5)yoki 7528 – 3(mod5).
4-teorema. Taqqoslamaningixtiyoriybirqismigataqqoslamaningmoduligabo‘linadiganharqandaybutunsonniqo‘shishmumkin, ya’ni a  b(modm) va m ∙ k 0 (mod m) bo‘lsa, u holda a + m ∙ k b(modm).
4-misol. 27 12(mod5) 27+ 35 12(mod 5)  62 12(mod5).
5-teorema. Birxilmodullitaqqoslamalarnihadlabko‘paytirishmumkin, ya’ni a  b(modm),c  d (modm) bo‘lsa, u holda a∙c  b∙d (mod m).
5-misol. 7 12(mod5)va 83(mod5)7 ∙ 8 12∙3 (mod 5) yoki5636(mod5).
Natija:a  b(modm)  aⁿ bⁿ(modm).
Masalan, 8 3 (mod5)8³3³(mod5) yoki 512 27(mod5).


Taqqoslamalarning xossalari
Amaliyotda taqqoslamaning quyidagi xossalari keng qo‘llaniladi:
a)taqqoslamaningikkalaqisminibirorbutunsongako‘paytirishmumkin, ya’ni c  Z uchun
a  b(modm)  a ∙ c b∙ c (modm);
b)taqqoslamaningikkalaqisminivamodulnibirornaturalsongako‘paytirishmumkin, ya’ni n  N uchun
a  b(modm)  a ∙ n b ∙ n (modm∙ n);
d) taqqoslamaningikkala qismi va modulini ularning umumiybo‘luvchilarigabo‘lishmumkin;
e)agaravabsonlarim₁,m₂,...,m_nmodullarbo‘yichataqqoslansa,uholdaularK(m₁, m₂, ..., m_n)modulbo‘yichahamtaqqoslanadi;
f) agar d soni m ning bo‘luvchisi bo‘lib,a  b (mod m) bo‘lsa,u holdaa  b (mod d) bo‘ladi.


Taqqoslamalarni qo‘llab misollar yechish
1-misol.3³⁰ni8gabo‘lishdanchiqadiganqoldiqnitoping.
Yechim.3² (9 – 8) (mod 8)  (3²)¹⁵1¹⁵(mod 8) 3³⁰1(mod 8) 3³⁰= 8∙k + 1.Demak,izlanayotganqoldiqr = 1.
2-misol.H = 30ⁿ⁺²+ 23ⁿ⁺¹+ 9ⁿ(n  N) sonining 7 ga bo‘linishiniisbot qiling.
Isbot. 302 (mod 7) VA 23 2 (mod 7) VA 9 2 (mod 7)30ⁿ⁺² 2 (mod 7) VA 23ⁿ⁺¹ 2 (mod 7) VA 9ⁿ 2 (mod 7)30ⁿ⁺²+ 23ⁿ⁺¹+ 9ⁿ2ⁿ⁺²+ 2ⁿ⁺¹+ 2ⁿ(mod 7)H2ⁿ∙(2²+ 2¹+ 2⁰) (mod 7)H  2ⁿ ∙7(mod 7)H  0(mod 7)H soni 7 ga bo‘linadi.
3-misol.2222⁵⁵⁵⁵sonini7gabo‘lishdahosilbo‘ladiganqoldiqnitoping.
Yechim.2222ni7gaqoldiqlibo‘lamiz:2222 = 7 ∙ 317 + 3.Bundan2222  3(mod 7)niolamiz.Hosilbo‘lgantaqqoslamaningharikkitomonini5555-darajagako‘taramiz:2222⁵⁵⁵⁵ 3⁵⁵⁵⁵(mod 7).
Bu taqqoslama izlanayotgan qoldiq3⁵⁵⁵⁵ni 7 ga bo‘lishdanhosilbo‘ladiganqoldiqbilanbirxilekanliginiko‘rsatadi.3⁵⁵⁵⁵ni7gabo‘lishdahosilbo‘ladiganqoldiqnitopamiz.Buninguchun3ningdastlabkibirnechtadarajalarini7gabo‘lishdaqandayqoldiqlarhosil bo‘lishini kuzataylik:
3¹ 3(mod 7);3² 3 ∙ 3  9  2(mod 7);3³ 2 ∙ 3  6(mod 7);3⁴ 6 ∙ 3  18  4(mod 7);3⁵ 4 ∙ 3  5(mod 7); 3⁶ 5 ∙ 3 15  1(mod 7);3⁶ 1(mod 7)gaegabo‘ldik.Bundan3^6∙k 1^k(mod 7) niolamiz,kN.
Endi5555ni6gabo‘lamiz:5555 = 6 ∙ 925 + 5.Uholda3⁵⁵⁵⁵ 3^{6 ∙ 925 +5} 3^6∙925∙ 3⁵ 1 ∙3⁵ 5(mod 7).
Shundayqilib,izlanayotganqoldiq5gateng.
4-misol.2⁶⁰+ 7³⁰soni13gabo‘linishini isbotlang.
Isbot.2⁴= 16 = 13 + 3va7²= 49 = 13 ∙ 4 – 3bo‘lganiuchun2⁴3(mod 13), 7²–3(mod 13)largaegamiz.Oxirgiharbirtaqqoslamani15-darajagako‘tarib,ularnihadma-hadqo‘shamiz:
2⁶⁰+ 7³⁰ 0(mod 13).Demak,2⁶⁰+ 7³⁰soni13gabo‘linadi.
5-misol. ningoxirgiraqaminitoping.
Yechim. 7ning dastlabki bir nechta darajalarining oxirgiraqaminikuzatib qadami4gateng takrorlanishsodirbo‘lishini aniqlaymiz va hulosa chiqaramiz:

Endin = 7⁷⁷ni4gabo‘lishdahosilbo‘ladiganqoldiqnianiqlaymiz:
7¹ 3(mod4); 7² 3 ∙ 7  1(mod4 );7^2k 1(mod 4 );7⁷⁷7^{2 ∙ 38 +1} 7^2∙38∙ 7  1 ∙ 7  3(mod4).
7⁷⁷ 3(mod4)bo‘lganiuchun,yuqoridagiga asosan = *3. Shunday qilib, oxirgi raqam 3 ekan.
6-misol.Ixtiyoriynaturalnsonuchun n⁵ – n soni5gabo‘linishiniisbotlang.
Isbot.n – ixtiyoriynaturalsonbo‘lsin.nni5gabo‘lamiz.
Agarn  0(mod5)bo‘lsa,n⁵ – n  0⁵ – 0 0(mod5)bo‘ladi.
Agarn 1(mod5)bo‘lsa,n⁵ – n 1⁵ – 10(mod5)bo‘ladi.
Agarn 2(mod5)bo‘lsa,n⁵ – n 2⁵ – 230(mod5)0(mod5)bo‘ladi.
Agarn 3(mod5)bo‘lsa,n⁵ – n 3⁵ – 3243 – 3240(mod5)0(mod5)bo‘ladi.
Agarn 4(mod5)bo‘lsa,n⁵ – n 4⁵ – 41024 – 410200(mod5)bo‘ladi.
Demak, nningharqandayqiymatidan⁵ – n  0(mod5)ekan, ya’ni nN uchun n⁵ – nsoni 5 ga qoldiqsiz bo‘linadi.