4-ma’ruza dinamikaning asosiy tushunchalari va qonunlari

Bog’lanishdagi nuqtaning harakat differentsial tenglamalari.

Bog’lanishdagi moddiy nuqta uchun bog’lanishlardan bo’shatish haqidagi aksioma va bog’lanish reaktsiya kuchlariga asoslanib moddiy nuqtaga qo’yilgan barcha kuchlar qatoriga reaktsiya N kuchlarini ham qo’shib erkin nuqta kabi (4.8) tenglamani yozish mumkin.

(4.13)
Koordinata sistemasidagi harakat differentsial tenglamalarni quyidagicha ifodalash mumkin.
(4.14)
Moddiy nuqtaning harakalida bog’lanish reaktsiya kuchlari. umumiy holda, nuqtaga qo’yilgan bog’lanishlarga va ta’sir etuvchi kuchlarga bog’liq bo’libgina qolmay, balki uning harakatining xarakteriga ham bog’liq. Masalan, nuqtaning havodagi yoki birorqarshilik ko’rsatadigan muhit ichidagi harakati tezligiga bog’liq bo’ladi.

4.2-shakl.
Reaktsiya kuchlarining muhim tomoni shundaki, ular masalalarda avvaldan berilmaydi, balki dinamika masalalarini yechish natijasida moddiy nuqtaning harakati kabi, berilgan bog’lanishlarga ko’ra aniqlanadi. Dinamikada bog’lanishlarni, statikadan farqli ravishda, dinamik bog’lanishlar yoki dinamik bog’lanish reaktsiyalari deb ataladi.


Moddiy nuqta dinamikasining ikki asosiy masalasi.

Moddiy nuqtaning u yoki bu koordinatalar sistemasidagi harakat differentsial tenglamalaridan foydalanib, nuqta dinamikasining ikki asosiy masalasini yechish mumkin.

Birinchi masala:
Nuqtaning massasi va harakat qonuniga ko’ra nuqtaga ta’sir etuvchi kuchni topish. Haqiqatan, m massali moddiy nuqtaning harakat tenglamalari Dekart koordinatalarda berilgan bo’lsin:

Kuchning koordinata o’qlaridagi proektsiyalari nuqta harakat differentsial tenglamalari (6.1) dan aniqlanadi, ya’ni
(4.15)

U holda kuchning moduli

(4.16)
yo’nalishi esa yo’naltiruvchi kosinuslarga ko’ra
(4.17)
formulalardan aniqlanadi.


Ikkinchi masala:
Nuqta massasi va unga ta’sir etuvchi kuch berilganda, nuqtaning harakat qonunini aniqlash. Bu masalaning yechilishini ham Dekart koordinatalar sistemasida qaraymiz. Nuqtaga ta’sir etuvchi kuch, umumiy holda, birdaniga bir qancha faktorlarga bog’liq bo’lishi mumkin.
U holda, (4.9) quyidagi ko’rinishni oladi:
(4.18)
Nuqtaning Dekart koordinalalardagi harakat tenglamalarini aniqlash uchun x,y,z larga nisbatan uchta ikkinchi tartibli differentsial tenglamalar sistemasi (4.2) ni birgalikda integrallash zarur. Matematikaning biror metodi bilan (4.18) ni yechib differentsial tenglamalar sistemasining birinchi integraliga erishaylik:
(4.19)
Bu yerda differentsial tenglamalar sistemasini bir marta integrallash natijasida paydo bo’lgan ixtiyoriy o’zgarmaslar, (4.19) tenglamalarni ham integrallash imkoniga ega bo’lsak, u holda, koordinatalarning hosilalaridan butunlay qutilamiz. Bu integrallash natijasida yana uchta ixtiyoriy o’zgarmaslar; va paydo bo’ladi. Yana ilgarigidek, bu ixtiyoriy o’zgarmaslar, uch munosabalga kiradi. Natijada, yuqoridagi (4.18) differentsial tenglamalarning integrallari, umumiy holda, quyidagicha yoziladi;
(4.20)
Bu munosabatlarga koordinatalarning hosilalari kirmaydi; faqat koordinatalar bilan vaqt o’zaro bog’langan.
Topilgan (4.20) harakat tenglamalarni dinamikaning asosiy masalasining aniq bir yechimi deb bo’lmaydi, chunki tenglamada oltita ixtiyoriy o’zgarmas son bor. SHunday qilib, masalaning yechimi bir yemas, bir necha ko’rinishda topilgan, ya’ni, nuqta berilgan kuch ta’sirida biror aniq yo’nalishda harakatlanmaydi, uning harakati ixtiyoriy o’zgarmaslarning har xil qiymatlariga mos keluvchi harakatlar to’plamidan iborat bo’ladi. Muayyan harakatning qanday sodir bo’lishi boshlang’ich shartlarga bog’liq boiadi. Masalan, og’irlik kuchi ta’sirida harakatlanayotgan nuqtaning traektoriyasi boshlang’ich lezlikning yo’nalishiga qarab, to’g’ri yoki egri chiziqli bo’lishi mumkin. Moddiy nuqtaning boshlang’ich paytdagi holati va tezligini ifodalovchi shartlar boshlang’ich shartlar deyiladi.
Demak, dinamikaning ikkinchi masalasining (yagona) xususiy yechimini aniqlash uchun moddiy nuqtaga ta’sir etuvchi kuchning xususiyatlarini bilish bilan birga, moddiy nuqta harakatining boshlang’ich shartini ham bilish zarur. Boshlang’ich shart berilmasa, dinamikaning ikkinchi masalasining yechimi nuqtaning biror muayyan harakatini tasvirlamaydi.