4-ma’ruza. Chiziqli algebraga kirish. Vektor va matrisalar bilan ishlash. Reja

4. Ikki vektorning skalyar va vektor ko’paytmasi


Ikki vektorning skalyar va vektor ko’paytmasi.
1-teorema. Nol bo’lmagan ikkita va vektorlarning skalyar ko’paytmasi deb, bu vektorlar uzunliklarining ular orasidagi burchak kosinusiga ko’paytmasiga aytiladi:
(5)
bunda va vektorlar orasidagi burchak.
Agar va vektorlardan hech bo’lmaganda bittasi nol vektor bo’lsa, ularning skalyar ko’paytmasi nolga tengdir:
.
Ikki vektor skalyar ko’paytmasining ba’zi xususiy hollari haqida to’xtalamiz:

1. 
   Agar = bo’lsa, bo’ladi. Unda ta’rifdan, bo’lishi kelib chiqadi.
   

ko’paytma - vektorning skalyar kvadrati deb ataladi. Bundan vektorning uzunligini aniqlash uchun

formulani olamiz, ya’ni vektorning uzunligi bu vektorning skalyar kvadratidan olingan kvadrat ildizga tengdir.
2. Agar nol bo’lmagan va vektorlar uchun bo’lsa, va vektorlar bir-biriga perpendikulyar bo’ladi.
Nol bo’lmagan va vektorlar uchun bo’lishi faqat va unda bo’lishi mumkinligini bildiradi.
Skalyar ko’paytmaning asosiy xossalari quyidagilardan iborat:

1. 
   O’rin almashtirish qonuni: .
   
2. 
   Guruhlash qonuni: .
   
3. 
   Taqsimot qonuni: .
   

Bu xossalarning isboti planimetriyadagi shunday xossalarning isbotiga o’xshashdir.
Skalyar ko’paytmaning fizik tadbiqi quyidagicha: siljishda o’zgarmas kuch bajaradigan ish bu vektorlarning skalyar ko’paytmasiga teng:
,
bunda va vektorlar yo’nalishlari orasidagi burchakdir.
Skalyar ko’paytmani vektorlar koordinatalari orqali ifodasi. Agar va vektorlarning koordinatalari ma’lum bo’lsa, ularning yoyilmalari

ko’rinishni oladi.
skalyar ko’paytmani hisoblashdan oldin, birlik vektorlarning skalyar ko’paytmalarini topamiz:
.
skalyar ko’paytma vektorlar yoyilmalari orqali

ko’rinishda yoziladi.
Skalyar ko’paytmaning taqsimot xossasidan foydalanib, oxirgi ifodaning o’ng tomonini ko’phadlar kabi ko’paytiramiz:

yoki
.
Shunday qilib, ikki vektorning skalyar ko’paytmasi ko’paytiriluvchi vektorlar mos koordinatalari ko’paytmalari yig’indisiga teng ekan.
vektorning skalyar kvadrati

bo’ladi. bo’lganligidan, vektorning uzunligini topish formulasi
(6)
ko’rinishda yoziladi, ya’ni vektorning uzunligi vektor koordinatalari kvadratlari yig’indisidan olingan kvadrat ildizga teng.
Ikki vektorning skalyar ko’paytmasi formulasidan foydalanib, va vektorlar orasidagi burchakni hisoblashimiz mumkin:
(7)
yoki
. (8)
Ikkita va vektorlarning perpendikulyarlik sharti
=0
ko’rinishda yoziladi.

Misol. vektorlarning skalyar ko’paytmasini aniqlang .

Yechish:
Misol. vektorlar tashkil qilgan burchakni aniqlang.
Yechish:

Misol: bo’lganda toping?
Yechish: