4-ma’ruza. Chiziqli algebraga kirish. Vektor va matrisalar bilan ishlash. Reja

Matritsa rangi.
18-ta’rif. Matritsaning rangi deb uning noldan farqli minorlarining eng yuqori tartibiga aytiladi. Matritsaning rangi yoki kabi belgilanadi.
Misol. Matritsa rangini toping.

=2.
10. Ikkinchi, uchinchi tartibli determinantlarning ta’riflari

- 2-tartibli kvadrat matritsa bo’lsin.
19-ta’rif. 2-tartibli kvadrat matritsaning 2 tartibli tavsiflovchi (determinant)si deb
= songa aytiladi.
Matritsaning determinantini yoki kabi ham belgilanadi.
20-ta’rif. Ushbu
songa uchinchi tartibli determinant deyiladi.
Bu ifoda uchburchaklar qoidasi (Sarryus qoidasi) bo’yicha topiladi. Uni quyidagi jadvallar orqali tasvirlash mumkin bo’lib, bir xil ishora bilan bitta ko’paytmada ishtirok etuvchi elementlar kesmalar bilan birlashtirilib ko’rsatilgandir (4.10-rasm):

4.10-rasm.


<sub>11. Chiziqli tenlamalar va ularni yechish usullari


Funksiya chiziqli va chiziqsiz bo‘lishi mumkin. Funksiya chiziqli deyiladi, agarda unda qatnashayotgan o‘zgaruvchi birinchi darajali bo‘lib, u bilan faqat ayirish yoki qo‘shish bajarilsa. Aks holda chiziqsiz deyiladi.
Amaliyotda ko‘plab amaliy masalalar chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga keladi. Chiziqli tenlamalar sistemasini yechishning bir qancha usullari mavjud. Ularga Gauss, Kramer, matritsa, iteratsiya, Zeydel, Jardan-Gauss usullarini misol qilish mumkin. Bu usullarni qo‘llagan holda kompyuterda Excel, MathCad va MatLab dasturiy vositalarning standart matematik funksiyalari yordamida tenglamalar sistemasini juda oson yechish mumkin.
Quyidagi formulaga n-ta nomalumli n-ta tenglamalar sistemasi deyiladi.
(14)
Bu tenglamalar sistemasi vektor formada quyidagicha yoziladi

A×X=B. (15)

Bu yerda

A - tenglama koeffitsientlari matritsasi;
X - nomalumlar vektori;
B - tenglama ozod hadlari vektori.
(15) vektor tenglamasini yechish uchun uning ikki tamoniga A-1 teskari matritsani ko‘paytiramiz va natijada quyidagiga ega bo‘lamiz.
A-1×A×X= A-1×B. (16)
Matritsani uning teskarisiga ko‘paytirish qoidasiga ko‘ra uning natijasi birlik matritsaga ega. Shu sabab (16) tenglamani quyidagicha yozamiz
X= A-1×B. (17)
Bu esa (14) tenglamalar sistemasining yechimidir. Yechimni topish uchun (17) tenglamada oldin teskari matritsani topish va keyin uni B vektoriga ko‘paytirish lozim.
Misol. Firma to‘rtta A1,A2,A3,A4 turdagi mahsulot ishlab chiqarishda S1,S2,S3,S4 turdagi resurslarni ishlatadi. Resurslardan har bir mahsulot bir birligiga ketadigan meyor va bir kunda ketadigan resurslar hajmi jadvalda berilgan.</sub>

Mahs-ulot turi	Har bir mahsulotning bir birligi uchun ketadigan meyor					Bir kunda ketadigan resurslar hajmi
	A1	A2	A3	A4
S1	2	2	4	1	2250
S2	2	1	1	2	1550
S3	3	1	2	1	1850
S4	1	2	1	3	1700

<sub>Masalaning matematik modelini yozing va uni yechib bir kunda ishlab chiqiladigan mahsulotlar hajmini toping.
Yechish. Firma har kuni A1 mahsulotdan x1, A2 mahsulotdan x2, A3 mahsulotdan x3 va A4 mahsulotdan x4 hajmda ishlab chiqariladi. U holda masala quyidagi tenglamalar sistemasiga keladi.

Bu tenglamalar sistemasini matritsa formasida yozamiz
A×X=B.
Bu yerda



Tenlamalar sistemasini yechishning Jardan-Gauss usulini ko‘rib chiqamiz. Jardan-Gauss usuli chiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun zarurat tug‘ulganda A-1 teskari matritsani topish uchun eng qulay usullardan biridir. Bu usul mohiyati quyidagidan iborat: Sistemadagi birinchi tenglamadan ixtiyoriy 0 dan farqli koeffitsientli nomalum tanlanadi va birinchi tenglamaning hamma hadlari shu koeffitsientga bo‘linadi. Birinchi tenglama yordamida tanlangan noma’lum boshqa hamma tenlamalardan yo‘qotiladi. Ikkinchi tenglamadan ixtiyoriy 0 dan farqli koeffitsientli nomalum tanlanadi va ikkinchi tenglamaning hamma hadlari shu koeffitsientga bo‘lib chiqiladi. Bu tenglama yordamida tanlangan noma’lum qolgan hamma tenlamalardan yo‘qotiladi va hokazo.</sub>