4-ma’ruza. Chiziqli algebraga kirish. Vektor va matrisalar bilan ishlash. Reja

Kronyekyer-Kapyelli usuli. Etibor qiladigan bo’lsak, sistemani yechishning Gauss usulida sistemani birgalikda ekani oldindan aniqlab olinmaydi. Tenglamalar sistemasini birgalikda bo’lish-bo’lmasligi, uni yechmasdan turib aniqlash usuli bilan tanishamiz.
(14) tenglamalar sistemasini koefitsiyentlaridan tuzilgan m*n tartibli

hamda m(n+1) - tartibli kengaytirilgan

matritsani tuzib olamiz.
Teorema. (Kronyekyer-Kapyelli tyeoryemasi). (14) tenglamalar sistemasi birgalikda bo’ulishi uchun A va A’ matritsalarning ranglari teng bo’lishi, ya’ni
rang A= rang A’ bolish zarur va yetadi.
Keltirilgan teoryemadan quyidagi xulosalar kelib chiqadi:

1. 
   Agar rang A’ > rang A bo’lsa (14) sistema yechimga ega bo’lmaydi.
   
2. 
   Agar rang A = rang A’ = k bo’lsa, sistema yechimga ega bo’lib,
   

a) k b) k=n bo’lsa, sistema yagona yechimga egabo’ladi.
Misol. Quyidagi ikkita no’malumli uchta tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:

Yechish. Bu yerda n=2, m=3 ya’ni m>n.
,
rang A =2 , chunki , bo’ulishini etiborga olsak rang A’=2, demak bu sistemani yechimi mavjud. Berilgan sistemani birinchi ikki tenglamasini birgalikda yechsak x₁=-⁵/₁₇; x₂=²³/₁₇ kelib chiqadi. Bu sonlar uchinchi tenglamani xam qanoatlantiradi:
4x₁+9x₂=4(-5/17) +923/17=11.


12. MATLABda chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini
tadqiq etish va yechish


Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda MATLAB usullari. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun MATLAB funksiyalari (usullari) juda ko’p bo’lib, biz ulardan bir nechtasini keltiramiz. Birinchi usul “chapdan bo’lish” usulidir:
1) x=A\B;
2) x=isqnonneg(A,B)-Ax=B chiziqli tenglamalar sistemasini kichik kvadratlar usuli bilan yechadi. Bunda A-(nxn) o’lchovli, B-(nx1) o’lchovli, xi≥0, i=1,2,…,n. Minimallashtirish kriteriyasi: B - Ax ning ikkinchi normasini minimallashtirish;
3) x=isqnonneg(A,B,x0) - iterasiyalar uchun chiziqli tenglamalar sistemasining aniq berilgan nomanfiy boshlang’ich qiymatlarda yechib beradi;
4) [x,w]=isqnonneg(…) - yechim bilan birga qoldiqlar vektori kvadrati ikkinchi normasini qaytaradi;
5) [x,w,w1]=isqnonneg(…) - xuddi avvalgi buyruq kabi, yana qoldiqlar vektori w1 ni qaytaradi;
6) bicg(A,B)-Ax=B ning x yechimini qaytaradi; A(nxn), B(nx1). Bunda hisoblash iterasiyalar yaqinlashguncha yoki min{20,n} gacha bajariladi;
7) bisc(A,B,tol) - yechimni tol xatolik bilan qaytaradi;
8) bisc(A,B,tol,maxit) - avvalgi buyruq kabi, yechimni undan tashqari maxit-maksimal iteratsiyalar soni bilan qaytaradi.