4 integralga parametrga bog`liq integral

3-Ta`rif. to`plamda berilgan funksiyaning dagi limit funksiyasi bo`lsin. Agar uchun topilsaki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi lar uchun



bo`lsa, funksiya o`z limit funksiyasi ga da tekis yaqinlashadi deyiladi.

4-Ta`rif. to`plamda berilgan funksiyaning dagi limit funksiyasi bo`lsin. Agar , olinganda ham va tengsizlikni qanoatlantiruvchi topilsaki, ushbu



tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda funksiya ga notekis yaqinlashadi deyiladi.

1-Teorema. (Koshi kriteriyasi) funksiya da limit funksiya ga ega bo`lib, unga tekis yaqinlashishi uchun quyidagi shartning bajarilishi zarur va yetarlidir: uchun topiladiki, , tengsizliklarni qanoatlantiruvchi hamda uchun



tengsizlik bajariladi.

Endi parametrga bog`liq integrallarning funksional xossalarini keltiramiz.

2-Teorema. Agar

1. 
   fiksirlangan uchun
   
2. 
   da funksiya ga tekis yaqinlashsa,
   

u holda

(5)

bo`ladi.

3-Teorema. Agar funksiya



to`plamda uzluksiz bo`lsa, u holda



funksiya kesmada uzluksiz bo`ladi.

4-Teorema. Aytaylik funksiya



to`plamda aniqlangan va

1. 
   fiksirlangan uchun
   
2. 
   va
   

bo`lsin. U holda kesmada mavjud va ushbu

(6)

tenglik o`rinli bo`ladi.

5-Teorema. Agar funksiya 3-teorema shartlarini qanoatlantirsa, unda integral mavjud va

(7)

munosabat o`rinlidir.

Endi umumiy ko`rinishda berilgan parametrga bog`liq integrallarni keltiramiz.

Faraz qilaylik, funksiyalar da aniqlangan bo`lib, uchun

(8)

munosabat bajarilsin.

6-Teorema. funksiya ushbu



to`plamda aniqlangan bo`lib,

1. 
   
   
2. 
   
   

bo`lsin. U holda

(9)

funksiya ham oraliqda uzluksiz bo`ladi.

7-Teorema. (Leybnis formulasi) Agar

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   va
   

bo`lsa, u holda funksiya ham oraliqda hosilaga ega va

(10)

munosabat o`rinlidir.

6-teorema shartlari bajarilgan holda funksiyaning oraliqda integrallanuvchi ekanligi kelib chiqadi va (9)-funksiya uchun ham (7)-tenglik kabi tenglik o`rinli bo`ladi.