4 authors, including: Ablakul Abdirashidov Samarkand State University 109

Boshlangʻich tushunchalar

Fan va texnikaning koʻplab masalalari oddiy differensial tenglamalar- ni yechishga olib kelinadi.

Oddiy differensial tenglama deb erkli oʻzgaruvchi (argument), izla- nayotgan funksiya va uning bir qator hosilalarini oʻz ichiga olgan tenglamaga aytiladi. Oddiy differensial tenglama umumiy holda quyidagicha yoziladi:

F(x, y, y, y, …, y⁽ⁿ⁾) = 0,

bu yerda x – erkli oʻzgaruvchi; y ⁽ⁱ⁾ – izlanayotgan funksiyaning i-tartibli

hosilasi, y⁽ⁱ⁾ =

^d (i ) ^y ; n – tenglamaning tartibi.

dxⁱ

n-tartibli oddiy differensial tenglamaning umumiy yechimi n ta c ₁, c₂,

.., c _n oʻzgarmaslarni oʻz ichiga oladi, yaʼni uning umumiy yechimi

quyidagicha yoziladi:

y = (x, c₁, c₂, .., c_n).

Oddiy differensial tenglamaning yagona yechimini topish uchun n ta qoʻshimcha shartlar kiritish lozim boʻladi.

Agar bu qoʻshimcha shartlr bitta nuqtada berilsa, u holda bunday ma- sala Koshi masalasi deb ataladi. Koshi masalasining qoʻshimcha shartlari boshlangʻich shartlar deb ataladi.

Agar qoʻshimcha shartlar bittadan ortiq nuqtalarda berilsa, yaʼni erkli oʻzgaruvchining har xil qiymatlarida berilsa, u holda bunday masala che- garaviy masala deb ataladi. Bunday masalaning qoʻshimcha shartlari che- garaviy shartlar deb ataladi.

Xususan, n = 1 boʻlganda gap faqat Koshi masalasi haqida ketadi. Koshi masalasining qoʻyilishiga misollar keltiraylik:

1) y = x³y² , y(1) = 2;

2) y = y + xy³ , y(1) = 1 , y(1) = 0.

Chegaraviy masalasining qoʻyilishiga misollar keltiraylik: 1) y + 2y – xy , y(0) = 1 , y(1) = 0;

2) y = x + xy – y , y(1) = 0 , y(1) = 0 , y(3) = 2 .

Bunday masalalarni analitik usullar bilan faqatgina maxsus turdagi tenglamalar uchungina yechish mumkin. Qolgan hollarda biror sonli usulga murojaat qilishga toʻgʻri keladi. Quyida ana shunday bir qadamli sonli usullar bilan birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni yechishni qarab chiqamiz.

2.