4- ma’ruza. Chiziqli tenglamalar sistemasi Reja

Jardono-Gauss modifikasiyalashgan usuli. Ma’lumki, Gauss usuli bilan chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda tenglamalar sistemasi uchburchak ko’rinishdagi sistemaga keltiriladi. Noma’lumlarning qiymati bevosita topiladigan, ya’ni teskari qadam bilan noma’lumlar qiymatini ketma-ket topishga hojat qolmaydigan usulni qaraymiz. Bu usulni ushbu chiziqli tenglamalar sistemasining yechimini topish bilan ifodalaymiz.

7-misol.

tenglamalar sistemasi yechimini toping.

Yechish. 1-tenglamani o’zgarishsiz qoldirib sistemaning qolgan tenglamalaridan noma’lumni yo’qotamiz, buning uchun 1- tenglamani ketma-ket (-4), (-1) ga ko’paytirib mos ravishda 3,4-tenglamalarga hadma-had qo’shib ushbu sistemani hosil qilamiz:

Endi 2–tenglamani o’zgarishsiz qoldirib, boshqa tenglamalardan noma’lumni yo’qotamiz, buning uchun 2 tenglamani (-2), 8,1 larga ketma-ket ko’paytirib, mos ravishda 1,3,4 – tenglamalarga hadma –had qo’shamiz va ushbuni hosil qilamiz:

Endigi qadamda 3-tenglamani o’zgarishsiz qoldirib boshqa tenglamalardan noma’lumni yo’qotamiz, buning uchun 3- tenglamani ketma-ket (5/21), (-3/21) (-2/21) larga ko’paytirib mos ravishda 1,2,4 – tenglamalarga hadma-had qo’shsak, ushbu tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi:

Oxirgi qadamda 4-tenglamani o’zgarishsiz qoldirib boshqa tenglamalardan, x₄ noma’lumni yo’qotamiz, buning uchun 4 – tenglamani ketma-ket larga ko’paytirib, mos ravishda 1,2,3- tenglamalarga hadma-had qo’shamiz natijada, ushbuga ega bo’lamiz:

Oxirgi sistemadan =1 , x₂=2, x₃=3, x₄=4 yagona yechimni olamiz. Yuqoridagi tenglamalar sistemasini yechishda x₁, x₂,x₃, x₄ noma’lumlarni ketma-ket yo’qotdik, hisoblashlarni ixchamlashtirish uchun har safar koeffisiyenti 1 ga teng bo’lgan noma’lumni chiqarish ham mumkin edi.

U usulda ham Gauss usulining xususiyatlari o’z kuchida qoladi, ya’ni tenglamalar sistemasi aniq bo’lsa, bu usul yagona yechimga, tenglamalar sistemasi birgilikda lekin aniq bo’lmasa biror qadamda 0=0 tenglik hosil bo’lib cheksiz ko’p yechimga olib keladi. Tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lmasa, biror qadamda tengliklarning birining chap tomonida 0 o’ng tomonida 0 dan farqli son bo’lib, sistema yechimga ega bo’lmaydi.