Aniqlama. Egerde vektorlari nolden o’zgeshe bolsa ha’m bolg’anda
(1.3)
ten’likleri orinlansa, onda bul vektorlar matritsasina salistirg’anda o’z-ara tu’yinles ( -tu’yinles, -ortogonal ) vektorlar (bag’itlar) dep ataladi.
Vektorlardin’ -tu’yinles boliwi, olardin’ ortogonal boliwinin’ tikkeley uliwmalasiwi boladi.Haqiyqatinda da, egerde (1.3) de bolsa, onda bunnan ten’ligi, yag’niy berilgen vektorlardin’ ortogonal boliw sha’rti kelip shig’adi.
Endi tu’yinles gradientler usilinin’ esaplaw algoritmin bayanlawg’a o’temiz. Meyli, -(1.1) sistemasinin’ sheshimine baslang’ish juwiqlasiw esabinda saylap aling’an, qa’legen vektor bolsin. Bul usildin’ kelesi juwiqlasiwi en’ tez to’men tu’siw usilinin’ juwiqlasiwi menen sa’ykes keledi:
, , (1.4)
Tu’yinles gradientler usilinin’ ekinshi adiminan baslap, to’men tu’siw bag’itin aniqlaytug’in vektor o’zgeredi ha’m ol
,
ko’rinisinde izlenedi. Bundag’i parametri, vektorinin’ iteratsiyaliq protsesstin’ birinshi adiminda tu’siw bag’itin aniqlag’an vektorina -tu’yinles boliw sha’rtinen saylap alinadi. Sonliqtan
ha’m bunnan
(1.5)
boladi. Solay etip, bul usildin’ ekinshi adiminda to’men tu’siw bag’itin
(1.6)
vektori aniqlaydi.
Bunnan son’, usi vektorinin’ ja’rdeminde sheshimge kelesi juwiqlasiwi
(1.7)
ko’rinisinde izlenedi. Bundag’i parametrin (adimnin’ uzinlig’in) aniqlaw ushin noqatinan baslap, vektorinin’ bag’itinda funktsiyasi o’zinin’ en’ kishi ma’nisine iye bolg’ansha ju’risti dawam etedi.Sonliqtan nin’ bunday ma’nisi
sha’rtinen aniqlanadi. Sa’ykes esaplawlardi orinlap, mina
(1.8)
Bunnan
(1.9)
boladi ha’m (1.1) sistemasinin’ sheshimine kelesi juwiqlasiw esabinda
(1.10)
vektori alinadi.
Tu’yinles gradientler usilinin’ barliq esaplaw sxemasi aniq boliwi ushin sheshimge kelesi juwiqlasiw vektorin aniqlaw qa’desin keltiremiz:
a) juwiqlasiwi ushin sa’ykessizlik vektori esaplanadi:
(1.11)
b) bul adimda to’men tu’siw bag’itin aniqlaytug’in vektori
formulasi menen aniqlanadi ha’m bundag’i parametrinin’ ma’nisi ha’m vektorlarinin’ –tu’yinles boliw sha’rtinen tabiladi:
,
bunnan
(1.12)
boladi. Sonliqtan
(1.13)
vektori bul adimda to’men tu’siw bag’itin aniqlaytug’in vektor boladi;
v) (1) sistemasinin’ sheshimine kelesi juwiqlasiw
ko’rinisinde izlenedi ha’m noqatinan baslap, vektorinin’ boyindag’i adiminin’ uzinlig’i nin’ ma’nisi, bul bag’itta funktsiyasinin’ en’ kishi ma’niske iye boliw sha’rtinen aniqlanadi. Sonliqtan, (8), (9) formulalari tiykarinda
(1.14)
ma’nisi kelip shig’adi. Demek, (1) funktsiyasinin’ sheshimine kelesi juwiqlasiw
(1.15)
formulasi menen aniqlanadi. Bunnan son’, bul juwiqlasiwg’a sa’ykes keletug’in, jan’a sa’ykessizlik vektori
tabiladi ha’m joqarida ko’rsetilgen usil menen iteratsiyaliq protsess dawam etedi. Na’tiyjede, to’mendegi rekurrentli qatnaslari menen aniqlanatug’in vektorlarinin’ ha’m sanlarinin’ izbe-izliklerine iye bolamiz:
, ,
, ,
, (1.16)
Endi tu’yinles gradientler usilinin’ (1.16) formulalari menen aniqlang’an esaplaw algoritminin’ shekli ekenligin da’lilleymiz. Bunin’ ushin bazi bir ushin bolatug’inin ko’rsetemiz. Da’slep,
bolg’anda (1.17)
bolg’anda (1.18)
bolatug’inin da’llileymiz. Jasawimiz boyinsha bolg’anda
boladi. Bunnan tisqari, bolg’anda
boladi. Sonda din’ aniqlamasi boyinsha bolg’anda bul ten’liktin’ on’ jag’i nolge ten’. Al, egerde bolsa, onda ha’m
(1.19)
boladi. Bunnan, din’ aniqlamasi boyionsha, izbe-iz mina na’tiyjege kelemiz:
Solay etip, (1.17) qatnaslari da’lillenedi. Endi (1.18) qatnaslarin da’lillew ushin, ma’selen, meyli bolsin. Sonda (1.17) boyinsha
boladi, al bolg’anda ten’ligi duris bolatug’ini tu’sinikli.
Sonliqtan, vektorlarinin’ sistemasi ortogonal boladi. Biraq ta, o’lshemli vektorliq ken’islikte nen artiq o’z-ara ortogonal vektorlar bolmaytug’inliqtan, iteratsiyaliq protsesstin’ bazi bir adiminda boladi. Demek, boladi ha’m juwiqlasiwi (1.1) sistemasinin’ izlenip atirg’an sheshimi boladi.
En’ tez to’men tu’siw usili jag’dayindag’i siyaqli, (1.16) formulalarinan paydalanip,
(1.20)
formulasin keltirip shig’ariwg’a boladi. Sonliqtan funktsionali menen qa’telik funktsiyasinin’ (bunda - qa’telik vektori) arasindag’i baylanisti esapqa alip,
(1.21)
formulasin jaziwg’a boladi. Bul son’g’i (1.20) ha’m (1.21) formulalari, tu’yinles gradientler usilinin’ da, siziqli emes toliq relaksatsiyalar usillarinin’ toparina jatatug’inlig’in an’latadi.
Tu’yinles gradientler usilinin’ barliq esaplaw sxemasi (1.16) formulalari menen aniqlanadi. Esaplawlardi orinlawdin’ barisinda juwiqlasiwinin’ da’lligin qadag’alaw sa’ykessizlik vektorinin’ uzinlig’in qanday da bir o’lshemde (normada) bahalaw joli menen iske asiriladi. Bul usildi qollang’anda orinlanatug’in tiykarg’i a’meller ko’beymelerin ko’p ma’rte esaplaw boladi ha’m matritsasi basqa hesh bir a’meldi orinlawg’a qatnaspaydi. Sonliqtan, tu’yinles gradientler usilin qollanip, EEM de sheshiw mu’mkin bolg’an sistemanin’ en’ joqarg’i ta’rtibi, matritsasin vektorg’a ko’beytiw ushin kerek bolg’an mag’liwmatlardin’ ko’leminen g’a’rezli boladi. Usi sebepli, bul usildi matritsasi ko’p sandag’i nol elementlerine iye bolg’an, sistemalardi sheshiwge qollaniw maqsetke muwapiq keledi. Bunday matritsalar jag’daylarinda, ha’m ko’beymelerin EEM de esaplawdi arifmetikaliq a’mellerdi orinlawg’a matritsasinin’ tek g’ana nolden o’zgeshe elementleri qatnasqanday etip, sho’lkemlestiriwge boladi.
Tu’yinles gradientler usili minaday kemshilkke iye: (1.16) formulalari menen aniqlang’an iteratsiyaliq protsesstin’ siziqli emes boliwina baylanisli, iteratsiyalardin’ sani jetkilikli u’lken bolg’anda, ol, do’ngeleklew qa’teliklerine orniqsiz (turaqsiz) boliwi mu’mkin. Bunday jag’daylarda vektorlarinin’ - ortogonal boliw sha’rtleri buziladi. Sonin’ na’tiyjesinde, haqiyqiy esaplaw protsessi, bul usildin’ qa’siyetlerin toliq sa’wlelendirmeydi ha’m sistemanin’ juwiq sheshimin a’dewir u’lken qa’telik penen aniqlaydi. O’ytkeni, ko’rsetilgen jag’daylarda, tu’yinles gradientler usilinin’ «shekli» boliw ha’m «iteratsiyaliq» qa’siyetleri joytiladi. Bul qolaysizliqlardin’ ta’sirin pa’sen’letiw maqsetinde, iteratsiyaliq protsesstin’ bir neshe adiminan son’, tsiklli tu’rde vektorin eki usil menen: ha’m formulalari menen esaplap, olar bir-birinen parq qilg’an jag’dayda, ekinshi na’tijeden paydalanip bariw kerek.
Juwmag’inda, tu’yinles gradientler usilin en’ tez to’men tu’siw usili siyaqli, matritsasi aynimali bolmag’an, siziqli algebraliq ten’lemelerinin’ qa’legen sistemalarin sheshiwge qollaniwg’a bolatug’inin atap o’temiz.
Birinshi adimdi saylap aling’an vektorinan paydalanip di esaplaymiz.
Usildin’ algoritmnin’ ekinshi adiminda da’slep, vektorina -tu’yinles bolg’an ha’m bul adimdag’i to’men tu’siw bag’itin aniqlaytug’in to’men tu’siw bag’itinin’ u’stindegi adimnin’ uzinlig’in aniqlaytug’in sani tabiladi ha’m (1.10) formulasinan paydalanip, sistemanin’ sheshimine kelesi juwiqlasiwi aniqlanadi. Sistemanin’ sheshimine bunnan son’g’i juwiqlasiwlar da tap usinday bolip tabiladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |