37- amaliy. Matematik induksiya metodi

37- amaliy. Matematik induksiya metodi.

1. 
   Matematik induksiya metodi. Yuqorida biz to’liqsiz induksiya va to’liq induksiya bilan tanishdik. Ularning birinchisini tatbiq etish noto’g’ri xulosaga olib kelishi mumkin, ikkinchisini tatbiq etish esa ko’p hollarda katta qiyinchilik tug’diradi. Shu bois, ularning tatbiq doirasi tordir. Endi tatbiq doirasi birmuncha kengroq bo’lgan va matematik induksiya metodi deb ataluvchi isbotlash usulini qaraymiz. Bu metodning mohiyatini bayon etishdan oldin, bir necha misollar qaraymiz.
   
   1. 
      misol. Agar 4ⁿ>n² () tengsizlik n ning n=k ( ) qiymatida to’g’ri bo’lsa, u holda bu tengsizlik n ning n=k+1 qiymatida ham to’g’ri bo’lishini isbotlang.
      

Isbot. Berilgan tengsizlik n ning n=k qiymatida to’g’ri bo’lgani uchun,

4^k>k² (1) to’g’ri tengsizlikka egamiz. n=k+1 bo’lsa, berilgan tengsizlik 4^k+1>(k+1)² (2) ko’rinishini oladi.

2) n=k bo’lsa, n³+11n ifodaning qiymati k³+11k soniga teng bo’ladi. Bu son 6 ga bo’linadi deb faraz qilamiz.

3) n=k+1 bo’lsin. U holda k³+11k=(k+1)³+3

(k+1)= (k³+11k)+3k(k+1)+12 tenglik o’rinli bo’ladi.

Farazimizga ko’ra, k³+11k soni 6 ga bo’linadi. Ketma-ket keluvchi ikkita natural sonning ko’paytmasi bo’lgan k(k+1) soni 2 ga bo’lingani uchun, 3k(k+1) soni 6 ga bo’linadi. Shuning uchun (k³+11k)+3k(k+1)+12 coni 6 ga bo’linadi.

Demak, n ning barcha natural qiymatlarida n³+11n ifoda 6 ga bo’linadi.

Matematik induksiya metodi biror-bir tasdiqni hosil qilish usuli emas, balki berilgan (tayyor) tasdiqni isbotlash usuli ekanligini eslatib o’tamiz.

Ba’zan bu metod noto’g’ri ham qo’llanilishi mumkin. Bir misol.

2. 
   misol. Har qanday n natural soni o’zidan keyin keluvchi n+1 natural soniga «tengdir».
   

Isbot. Har qanday k natural soni uchun tasdiq to’g’ri, ya’ni k=k+1 bo’ladi, deb faraz qilaylik. Agar endi bu tenglikning har ikki qismiga 1 soni qo’shilsa, k+1=k+2 bo’ladi. Demak, tasdiq n larda o’rinli. Bunda isbotning bazis qismi unitib qo’yilgan. Boshidayoq 1=2 bo’lib qolayotgani ma’lum edi.

1. Matematik induksiya usulidan foydalanib, (n-1)²+2n0 tengsizlik ixtiyoriy n uchun o’rinli ekanligini isbotlang.

2. a_n=a₁+d(n-1)-arifmetik progressiyaning hadi formulasi, bunda a₁-birinchi hadi, d – progressiya ayirmasi. - dastlabki n ta hadning yig’indisini topish formulasi. Yuqoridagi faktlardan foydalanib quyidagi masalalarni yeching:

1) 2, 5, 8, … arifmetik progressiyaning n va (n+1)- hadini va dastlabki n ta hadining yig’indisini toping. Olingan natijani matematik induksiya usuli yordamida tekshiring.

2) -2; -1,5; -1; -0,5; 0, … - arifmetik pragressiyaning n-va (n+1)- hadini va dastlabki n ta hadining yig’indisini toping. Olingan natijani matematik induksiya usuli yordamida tekshiring.

6. Matematik induksiya usulidan foydalanib ixtiyoriy natural son uchun quyidagi tengliklar rost ekanligini ko’rsating:

1. 
   ;
   
2. 
   ;
   
3. 
   ;
   
4. 
   ;
   
5. 
   ;
   

7. 
   Matematik induksiya usulidan foydalanib ixtiyoriy natural son uchun quyidagi tengliklar rost ekanligini ko’rsating:
   

1. 
   ;
   
2. 
   ;
   
3. 
   ;
   
4. 
   ;
   
5. 
   ;
   
6. 
   .