30 Маъруза Биринчи тур Фредголм тенгламаси Нокоррект масалаларни ечиш

30 - Маъруза
Биринчи тур Фредголм тенгламаси Нокоррект масалаларни ечиш.
Режа :

1. 
   Нокоррект масала.
   
2. 
   Озод хадга нисбатан тургунмаслик.
   
3. 
   Масалани регулярлаштириш.
   

Биринчи тур Фредгольм интеграл тенгламаси нокоррект масалаларга мисол булади. Бундай масалаларни ечиш методларини урганишга киришишдан олдин нокоррект масалаларни караймиз. Математик масала ечимини аникловчи барча катталиклар бошлангич берилганлар деб айтилади. Масалан:

(1)
Фредгольм интеграл тенгламасида унинг эркин хади f(x), ядроси , параметри, ва [a,b] кесма бошлангич берилганлар хисобланадилар.
Куп холларда бошлангич берилганлар улчаш натижасида хосил буладилар, шунинг учун улар такрибий буладилар. Шу сабабли ечим хам такрибий топилади. Шунинг учун ечими куйидаги шартларни каноатлантирадиган масалалар алохида ахамиятга эгадирлар:
1. Бошлангич берилганларнинг бирор бир мумкин булган узгариш оралигидан олинган ихтиёрий кийматлари учун ечим мавжуд;
2. Бошлангич берилганларнинг "озгина" узгариши ечимни "озгина" узгартиради, яъни ечим бошлангич берилганларнинг узгаришига нисбатан тургун.
Бундай масалаларни одатда коррект куйилган ёки кискача коррект деб айтишади.
Аммо амалий масалаларни ечишда бундай шартларни каноатлантирмайдиган, лекин мухим амалий ахамиятга эга булган масалалар куп.
Бундай масалалар нокорррект ёки коррект куйилмаган масала деб айтилади.
₍₂₎
тенглама мана шундай масалаларнинг мисоли була олади. (2)-тенглама аслида функцияни функцияга акслантирувчи интеграл акслантиришдан иборат. Унда асл, эса функциянинг акси булади.
Соддалик учун ядрони квадратда узлуксиз деб фараз киламиз ва асл функцияни [a,b] сегментда абсалют интегралланувчи деб хисоблаймиз. Бундай шартлар билан (2)-тенгламадаги интеграл х узгарувчининг узлуксиз функцияси булади.
Унда интеграл акслантириш абсалют интегралланувчи функциялар тупламини [a,b] сегментда узлуксиз функцияларнинг С тупламига акслатиради.
Акслантиришнинг акслари С тупламнинг бир кисмини ташкил килиши мумкин.
Унда, агар f(x) унг томон сифатида С тупламнинг шу кисмига тегишли булмаган узлуксиз функцияни олсак, унда (2) -тенглама абсалют интегралланувчи функциялар тупламида ечимга эга булмайди ва масала нокоррект булади. Масалан, ядро квадратда узлуксиз ва х буйича [a,b] сегментда узлуксиз дифференциалланувчи булсин. (2)- тенгламадаги интеграл [a,b] сегментда х буйича узлуксиз дифференциалланувчи булади. (2)- акслантириш эса абсалют интегралланувчи функциялар тупламини [a,b] сегментда узлуксиз дифференциалланувчи функциялар тупламига акслантиради.
Шунинг учун, агар f(x) [a,b] сегментда узлуксиз булиб диференциалланувчи булмаса тенглама абсалют дифферен-циалланувчи функциялар тупламида ечилмайдиган булади.
Юкорида келтирилган мулохазалар, (2)-тенгламанинг барча бошлангич берилганлар учун хам ечимга эга була олмаслигини ва шунинг билан корректлигининг биринчи хоссасига эга эмаслигини курсатади.
Ечимнинг тургунлик хоссасига эга эмаслигини хам курсатамиз.
Фараз киламиз (2)-тенгламани каноатлантирадиган булсин.
функцияни [ ] киска кесмада сезиларли узгартирамиз ва янги хосил килинган функцияни билан белгилаймиз. Узгартиришдан сунг (2)-тенглама янги
₍₃₎
тенгликка утади. Агар кисм кесма узунлиги етарлича кичик килиб олинса, унда функция х аргументнинг барча кийматлари учун функциядан оз фарк килади. Биз функцияни бирта кисм кесмада эмас, балки узунликлар йигиндиси кичик булган бир канча кисм кесмаларда узгартириб иккита (2) ва (3)- бир хил озод хадлари кам фарк киладиган интеграл тенгламаларни хосил килишимиз мумкин. Бу (2) - интеграл тенглама ечимнинг озод хадга нисбатан тургунмаслигини курсатади.
Куп ходисаларни урганишда, хусусий холда кузатиш натижаларини талкин этишда куйидаги вазият вужудга келади. функция мавжуд булиб, бу функцияни бевосита узини кузатмасдан биз аслида
функцияни кузатамиз. Бунда бу функция кийматларида кузгалишлар мавжуд булади.
Шундай килиб

масала ечимга эга, аммо биздан

масалани ечиш талаб килинади.
Бу масалада булиб кузгалишнинг нормаси кичик:
₍₅₎
(2) ва (4) - масалалар ечимлари орасидаги фаркни куринишда ёзиш мумкин.
Бу фарк
₍₆₎
интеграл тенглама ечимидан иборат.
Фараз киламиз ядро хакикий ва симметрик , яъни булсин. _ва узлуксиз булсинлар.
Унда
₍₇₎
операторнинг ортонормалланган хос функцияларининг тула системаси мавжуд булади:
,

Бу ерда ^j_i -кронеккер белгиси
Бу холда ядрони

куринишда тасвирлаш мумкин.
Каторнинг якинлашиши

нормада тушинилади.
Охирги муносабатдан

бундан эса n , _n келиб чикади.

Фараз киламиз булсин. (5)-шарт

демакдир.
Агар узоклашса, унда (6)- тенглама ечимга эга булмайди. £атто бу катор якинлашганда хам биз ечимнинг нолга интилишига кафолат бера олмаймиз.
£акикатдан хам, булган, унг томонлар орасида шундай унг томон мавжудки булади. Унда яъни

_{булади.}
Лекин биз (4) -масалани ечишга мажбур эмасмиз. Бу масaланинг ечимини ечимга "якин" булган дастлабки масалага якин масалага алмаштиришга харакат килиш мумкин. Берилган масалани шундай "якин" масалага алмаштириш, масалани регулярлаштириш деб айтилади. Буни яна Тихоновчасига регулярлаштириш хам деб айтишади.
Биринчи тур Фредгольм интеграл тенгламасини ечишда (2)-масалага "якин" булган масала сифатида
(8)

тенгламани караймиз.

параметр регулярлаштириш параметри деб айтилади.
Теорема. Фараз киламиз барча бу ерда булсин.
У холда

тенгсизлик уринли
Бу ерда ва , умумий холда ечимга боглик булган микдор.

тенгликка эгамиз.
Бу ерда

ва


функцияни (8)-тенгликка куйиб



тенгликка эга буламиз.
Шундай килиб

айирмани караймиз.

тенгликка эгамиз.
Шундай килиб хатоликни иккита ва кушилувчилар йигиндиси куринишда тасвирлаш мумкин:
_{, (9)}
бу ерда




функцияларнинг ортонормалланган булганлиги туфайли


булганлиги учун _,

Шунинг учун

_{. (10)}
микдорни бахолашга утамиз.
Энг аввал содда, лекин тез-тез учрайдиган
(11)
шарт бажариладиган холни караймиз.
Унда
(12)
(9),(10),(12)-муносабатлардан (11)-кушимча шартнинг бажарилишини талаб килиш билан теорема исбот булади, чунки
(13)
ва бажарганда .
Шундай килиб микдорларнинг етарлича кичик булганида хатолиги кичик булган ечимга эга буламиз.
Хатоликнинг нолга интилишини энг яхши бахосини хосил килиш учун кийматни топамиз.
экстре мал нуктада яъни _{булади.}
(13)- муносабатдан булганда келиб чикади.

Энди теоремани (11)-шартнинг бажарилиш фаразидан воз кечиб исбот киламиз.

куринишда тасвирлаймиз.
Бу ерда



бахолар уринли.
Бу ерда
ва
эканлигини курсатамиз. Бунинг учун хар кандай учун булганда бажариладиган мавжудлигини курсатиш етарли.
Ихтиёрий танлаймиз. катор якинлашувчи булганлиги учун шундай мавжудки

бажарилади.
Агар бажарилса , унда ва булади.
Шундай килиб

ва
муносабатга эга буламиз. Теорема (11)-шартнинг бажарилиш фаразисиз исбот булди.