3. Pontryagin-Kuratovskiy teoremasi

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA KOMMUNIKATSIYALARINI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI
Algoritmlash va matematik modellashtirish kafedrasi “Diskret tuzilmalar” fani


Mustaqil ish
Mavzu: Gomeomorfizm. Pontryagin-Kuratovskiy teoremasi

Guruh:061-19 sirtqi

Bajardi:Toshniyozov Sardor
Tekshirdi:Begimov Oybek
Toshkent 2021

Reja:
1. Geomorfizm

2.Planar graflari.
3.Pontryagin-Kuratovskiy teoremasi.
4.Planar grafning xromatik sonini baholash.


Geomorfizm
Geomorfizmning klassik namunasi: kupa va qovoq (tor) topologik jihatdan tengdir
Boshqacha qilib aytganda, bu ikki bo'shliqning topologik tuzilmalarini bog'laydigan biektsiya, chunki bieksiyaning davomiyligi bilan ochiq pastki to'plamlarning tasvirlari va prototiplari tegishli bo'shliqlarning topologiyasini aniqlaydigan ochiq to'siqlardir.
Gomomorfizm bilan bog'liq joylar topologik jihatdan farqlanmaydi. Topologiya ob'ektlarning gomeomorfizmida o'zgarmagan xususiyatlarini o'rganish mumkin.
Topologik bo'shliqlar kategoriyasida faqat uzluksiz ekranlar ko'rib chiqiladi, shuning uchun bu toifadagi izomorfizm ham geoomorfizmdir
tegishli ta'riflar. geoomorfik yoki topologik ekvivalent deb ataladi.
Geomorfizm bilan davom etsa, kosmosning mulki topologik deb ataladi. Topologik xususiyatlari misollar: topologik sohalarda, ulanish va nesvyaznost, chiziqli ulanish, yilni, bir-biriga bog'liq, metrizuemost va sanab xususiyatlari mahalliy analoglari (mahalliy aloqa, mahalliy chiziqli ulanish, mahalliy yilni yangi, mahalliy monosignality, mahalliy metrizuemost), mulk topologik xilma-xilligi, end-xilligi, cheksiz va topologik hajmi va boshqalar bo'lishi.
Bo'shliqlarning mahalliy geoomorfizmi ning doimiy surektiv ko'rinishi deb ataladi .

Topologik makon X bu mahalliy gomomorfik ga Y agar har bir nuqta X bo'lgan mahalla bor gomeomorfik ning ochiq pastki qismiga Y. Masalan, a ko'p qirrali o'lchov n mahalliy sifatida gomomorfik xususiyatga ega 

Agar mahalliy gomomorfizm bo'lsa X ga Y, keyin X mahalliy sifatida gomomorfik xususiyatga ega Y, lekin aksincha har doim ham to'g'ri emas. Masalan, ikki o'lchovli soha, ko'p qirrali bo'lib, samolyot uchun mahalliy ravishda gomomorfdir  ammo ular orasida mahalliy gomomorfizm yo'q (har ikki yo'nalishda ham).


Ruxsat bering X va Y bo'lishi topologik bo'shliqlar. Funktsiya f : X → Y mahalliy gomomorfizmdir^[1] agar har bir nuqta uchun x yilda X mavjud an ochiq to'plam U o'z ichiga olgan x, shunday qilib rasm f(U) ochiq Y va cheklash f |_U : U → f(U) a gomeomorfizm (qaerda tegishli subspace topologiyalari ustida ishlatiladi U va boshqalar f(U)).

Ta'rifga ko'ra, har bir gomomorfizm ham mahalliy gomomorfizmdir.

Agar U ning ochiq pastki qismi Y bilan jihozlangan subspace topologiyasi, keyin inklyuziya xaritasi men : U → Y mahalliy gomomorfizmdir. Bu erda ochiqlik juda muhimdir: ochiq bo'lmagan kichik to'plamni kiritish xaritasi Y hech qachon mahalliy gomomorfizmni keltirib chiqarmaydi.
Ruxsat bering f : R → S¹ ni o'raydigan xarita bo'ling haqiqiy chiziq atrofida doira (ya'ni f(t) = e^u Barcha uchun t ϵ R). Bu mahalliy gomomorfizm, ammo gomomorfizm emas.
Ruxsat bering f : S¹ → S¹ aylanani o'z atrofiga o'rab olgan xarita bo'ling n marta (ya'ni bor o'rash raqami n). Bu barcha nolga teng bo'lmagan mahalliy gomomorfizmdir n, lekin gomomorfizm faqatgina mavjud bo'lgan holatlarda ikki tomonlama, ya'ni qachon n = 1 yoki -1.
Oldingi ikkita misolni umumlashtirish, har biri qoplama xaritasi bu mahalliy gomomorfizmdir; xususan universal qopqoq p : C → Y bo'shliq Y mahalliy gomomorfizmdir. Muayyan vaziyatlarda bu teskari. Masalan: agar X bu Hausdorff va Y bu mahalliy ixcham va Hausdorff va p : X → Y a to'g'ri mahalliy gomeomorfizm, keyin p qoplama xaritasi.
Mahalliy gomeomorfizmlar mavjud f : X → Y qayerda Y a Hausdorff maydoni va X emas. Masalan, bo'sh joy X = (R ⨿ R)/~, qaerda ekvivalentlik munosabati ~ da uyushmagan birlashma realning ikki nusxasidan birinchi nusxadagi har bir salbiy realni ikkinchi nusxadagi mos keladigan real bilan aniqlaydi. 0-ning ikkita nusxasi aniqlanmagan va ularning bir-birlariga qo'shni hududlari yo'q, shuning uchun X Hausdorff emas. Kimdir tabiiy xaritani osongina tekshiradi f : X → R mahalliy gomomorfizmdir. Elyaf f ⁻¹({y}) agar ikkita element bo'lsa y ≥ 0 va bitta element bo'lsa y < 0.
Xuddi shunday, biz mahalliy gomomorfizmlarni qurishimiz mumkin f : X → Y qayerda X Hausdorff va Y emas: tabiiy xaritani tanlang X = R ⨿ R ga Y = (R ⨿ R)/~ yuqoridagi kabi ekvivalentlik munosabati bilan ~.
Bu ko'rsatilgan komplekstahlil bu murakkab analitik funktsiya f :
U → C (qayerda U ning ochiq pastki qismi murakkab tekislik C) mahalliy gomomorfizmdir lotin f ′(z) hamma uchun nolga teng emas z ϵ U. Funktsiya f(z) = zⁿ 0 atrofida bo'lgan ochiq diskda 0 bo'lganida mahalliy gomomorfizm emas n kamida 2. Bu holda 0 "tarqalish"(intuitiv ravishda, n choyshablar o'sha erda to'planadi).
Dan foydalanish teskari funktsiya teoremasi uzluksiz farqlanadigan funktsiya ekanligini ko'rsatish mumkin f : U → Rⁿ (qayerda U ning ochiq pastki qismi Rⁿ) lotin D bo'lsa, mahalliy gomeomorfizmdir_xf har biri uchun o'zgaruvchan chiziqli xarita (qaytariladigan kvadrat matritsa) x ϵ U. (Mahalliy gomomorfizm ko'rsatganidek, aksincha, yolg'ondir f : R → R bilan f(x) = x³.) Shunga o'xshash shartni orasidagi xaritalar uchun shakllantirish mumkin farqlanadigan manifoldlar.
Xususiyatlari

Har qanday mahalliy gomomorfizm a davomiy va xaritani oching. A ikki tomonlama shuning uchun mahalliy gomeomorfizm gomeomorfizmdir.

Mahalliy gomeomorfizm f : X → Y "mahalliy" topologik xususiyatlarni ikki yo'nalishda o'tkazadi:

• 
  X bu mahalliy ulangan agar va faqat agar f(X) bu;
  
• 
  X bu mahalliy yo'l bilan bog'liq agar va faqat agar f(X) bu;
  
• 
  X bu mahalliy ixcham agar va faqat agar f(X) bu;
  
• 
  X bu birinchi hisoblanadigan agar va faqat agar f(X) bu.
  

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, Hausdorff xususiyati bu ma'noda mahalliy emas va mahalliy gomomorfizmlar tomonidan saqlanib qolinishi kerak emas.
Agar f : X → Y mahalliy gomeomorfizm va U ning ochiq pastki qismi X, keyin cheklash f|_U shuningdek, mahalliy gomomorfizmdir.
Agar f : X → Y va g : Y → Z mahalliy gomomorfizmlar, keyin tarkibi gf : X → Z shuningdek, mahalliy gomomorfizmdir.
Agar f : X → Y doimiy, g : Y → Z mahalliy gomomorfizmdir va gf : X → Z mahalliy gomomorfizm f shuningdek, mahalliy gomomorfizmdir.
Bilan mahalliy gomomorfizmlar kodomain Y bilan tabiiy ravishda birma-bir yozishmalarda turing sochlar to'plamlar yoqilgan Y; bu yozishmalar aslida an toifalarning ekvivalentligi. Bundan tashqari, kodomainli har bir doimiy xarita Y kodomain bilan o'ziga xos aniqlangan mahalliy gomomorfizmni keltirib chiqaradi Y tabiiy ravishda. Bularning barchasi haqida maqolada batafsil tushuntirilgan sochlar.

Xulosa.

Geomorfizm bilan davom etsa, kosmosning mulki topologik deb ataladi. Topologik xususiyatlari misollar: topologik sohalarda, ulanish va nesvyaznost, chiziqli ulanish, yilni, bir-biriga bog'liq, metrizuemost va sanab xususiyatlari mahalliy analoglari (mahalliy aloqa, mahalliy chiziqli ulanish, mahalliy yilni yangi, mahalliy monosignality, mahalliy metrizuemost), mulk topologik xilma-xilligi, end-xilligi, cheksiz va topologik hajmi va boshqalar bo'lishi.

Adabiyotlar

1. 
   ^ Munkres, Jeyms R. (2000). Topologiya (2-nashr). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.