3-mavzu. Koshi va Dalamber alomatlari. Koshining integral alomati

5-Мисол. қаторни яқинлашувчи-лигини текширинг.

Ечиш. .

Қатор узоқлашувчи.

Саволлар

2.5-илова

Кошининг интеграл аломати, умумлашган гармоник қатор Теорема. Агар [1;) оралиқда номанфий интегралланувчи функция монотон камаювчи ва қатор ҳадлари учун тенгликлар ўринли бўлса , у ҳолда қатор ва хосмас интеграллар бир вақтда яқинлашувчи ёки бир вақтда узоқлашувчи бўлади; яқинлашувчи бўлган ҳолда   +a1 (4) муносабат ўринли бўлади. Исботи. функциянинг монотон камаювчилигидан kxk+1 тенгсизликлардан f(k)  f(x)  f(k+1) келиб чиқади. Бу қўш тенгсизликни k дан k+1 гача интеграллаб,   , ёки f(k)=ak бўлганлиги учун ak   ak+1 қўш тенгсизликларга эришамиз. Сўнги тенгсизликларни k=1, 2, , n учун ёзамиз: a1   a2, a2   a3 , , an   an+1. Буларни ҳадма-ҳад қўшиб, қуйидагига эга бўламиз: Sn   Sn+1-a1 (5) Қуйидаги ҳолларни қараймиз. 1) интеграл яқинлашувчи ва I га тенг. У ҳолда I ва Sn+1 I+a1=C ёки барча натурал n ларда Sn  I. Демак, (Sn) кетма-кетлик юқоридан чегараланган, бундан қатор яқинлашувчи. Ва аксинча, агар қатор яқинлашувчи бўлса, у ҳолда (Sn) кетма-кетлик юқоридан чегараланган, демак умумий ҳади In+1= бўлган монотон ўсувчи кетма-кетлик яқинлашувчи бўлади, яъни интеграл яқинлашувчи бўлади. 2) интеграл узоқлашувчи бўлсин. У ҳолда Sn  тенгсизликдан (Sn) кетма-кетлик юқоридан чегараланмаган, бундан қатор узоқлашувчи эканлиги келиб чиқади. Агар да қатор узоқлашувчи бўлса, у ҳолда унинг хусусий йиғиндиларидан иборат (Sn) кетма-кетлик юқоридан чегараланмаган, демак, умумий ҳади In+1= бўлган кетма-кетлик ҳам чегараланмаган. Бундан интегралнинг узоқлашувчилиги келиб чиқади. Қатор яқинлашувчи бўлган ҳолда (5) қўштенгсизликда n лимитга ўтиб, S   S-a1 муносабатга, бундан (4) га эга бўламиз.