3-ma’ruza. Mashinali o’qitishda instrumental vositalardan foydalanish. Matlab dasturiy muhiti bilan ishlash. Reja

CROSS - vector ko’paytmani hosil qiladi.
Sintaksisi:
c = cross(a, b)
KRON - tenzorli ko’paytmani hosil qilish.
Sintaksisi:
K = kron(X, Y)
LINSPACE -teng munosabatli tugunlar chiziqli massivini hosil qilish.
Sintaksisi:
x = linspace(x1, x2)
x = linspace(x1, x2, n)
LOGSPACE - logarifmik to’rli tugunlarni hosil qiladi.
Sintaksisi:
x = logspace(d1, d2)
x = logspace(d1, d2, n)
MESHGRID - ikki o’lchamli va uch o’lchamli to’rlar tugunlarini hosil qiladi.
Sintaksisi:
[X, Y] = meshgrid(x, y)
[X, Y] = meshgrid(x)
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z)
Misol. Funksiyani -2 < x < 2, -2 < y < 2 sohada hisoblash uchun quyidagi amallar ketma-ketligi bajariladi:
>> [X, Y] = meshgrid (-2:.2:2, -2:.2:2);
>> Z = X.*exp (-X.^2 - Y.^2);
>> mesh (Z).
Mos keluvchi funksiyalar: SURF, SLICE.


3.4. Maxsus matritsalar


COMPAN - xarakterestik ko’phadni matrisa ko’rinishida ifodalaydi. Sintaksisi: C = compan(p).
Misol. (x-1)(x-2)(x-3) = x³ - 7x + 6 polinomi koiffetsentalaridan tuzilgan vektor p = [1 0 -7 6]; yordamchi massiv quyidagicha bo’ladi:
C = compan(p)
C = 0 7 -6
1 0 0
0 1 0
Mos keluvchi funksiyalar: POLY, POLYVAL, POLYVALM.
HADAMARD - Adamar matritsasini (Hadamard matrix) hosil qiladi.
Sintaksisi: H = hadamard(n).
HANKEL - Hankel matritsasini (Hankel matrix) hosil qiladi.
Sintaksisi: H = hankel(c)
H = hankel(c, r)
Misol: c = [1 2 3];
H = hankel(c)
H = 1 2 3
1 2 0
3 0 0
c = 1:3; r = 7:10; H = hankel(c, r)
Warning: Column wins anti-diagonal conflict.
HILB, INVHILB - Gelbert matritsasini (Hilbert matrix) hosil qiladi.
Sintaksisi:
H = hilb(n)
H = invhilb(n)
Misol. 4 - taribli Gilbert matritsasi 1.5514e+004 shartli songa ega bo’lsin. Uning teskari matritsasi-butun sonli matritsa ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:
invhilb(4)

ans = 16	-120 240	-140
-120	1200 -2700	1680
240	-2700 6480	-4200
-140	1680 -4200	2800

Natijani qo’zg’aluvchi vergulli sonlar ko’rinishida tasvirlasak quiydagi hosil bo’ladi:
format long e,
inv(hilb(4))
1.0e+ 003

ans = 0.0160	-0.1200	0.2400	-0.1400
-0.1200	1.2000	-2.7000	1.6800
0.2400	-2.7000	6.4800	-4.2000
-0.1400	1.6800	-4.2000	2.8000

MAGIC - Sehirli kvadratni hosil qiladi.
Sintaksisi: M = magic(n)
Ushbu funksiyani qo’llanilishi bilan bog’liq grafiklar (3.13-rasm):

3.13-rasm.
Mos keluvchi funksiyalar: RAND, ONES.
PASCAL - Paskal matritasasini (Pascal matrix) hosil qiladi.
Sintaksisi:
P = pascal(n)
P = pascal(n, k)
Misol:
>> n=4
n =
4
>> a=pascal(n)
a =

1	1	1	1
1	2	3	4
1	3	6	10
1	4	10	20

>>a=pascal(n,1)
a =

1	0	0	0
1	-1	0	0
1	-2	1	0
1	-3	3	-1

ROSSER - Resser matritsasini (Rosser matrix) hosil qiladi.
Sintaksisi:
R = rosser
Misol.
>> R=rosser R =

611	196	-192	407	-8	-52	-49	29
196	899	113	-192	-71	-43	-8	-44
-192	113	899	196	61	49	8	52
407	-192	196	611	8	44	59	-23
-8	-71	61	8 411 -599 208 208
-52	-43	49	44 -599 411 208 208
-49	-8	8	59 208 208 99 -911
29	-44	52	-23 208 208 -91 199

TOEPLITZ - Tiplets matritsasini (Toeplitz matrix) hosil qiladi.
Sintaksisi:
T = toeplitz(c);
T = toeplitz(c, r).
Misol.
c=1:4; T = toeplitz(c)

T = 1	2	3	4
2	1	2	3
3	2	1	1

4 3 2 1
VANDER - Vandermond matritsasini (Vandermonde matrix) hosil qiladi.
Sintaksisi: V = vander(x).
Misol: x = [1 2 3 4]; V = vander(x).

V =1	1	1	1
8	4	2	1
27	9	3	1
64	16	4	1

WILKINSON - Uilkenson matritsasini (Wilkinson matrix) hosil qiladi.
Sintaksisi: W = wilkinson(n).
Misol: W = wilkinson(7):

W = 3	1	0	0	0	0	0
1	2	1	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	0
0	0	1	0	1	0	0
0	0	0	1	1	1	0
0	0	0	0	1	2	1
0	0	0	0	0	1	3

4. MATLABda chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini tadqiq etish
va yechish


4.1. Chiziqli tenglamalar sistemasi

Juda ko’p nazariy va amaliy masalalarni hal qilishda chiziqli tenglamalar sistemasiga duch kelamiz. Umumiy holda chiziqli tenglamalar sistemasining ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:

(3.1)
Bu yerda x₁, x₂, …, x_n - noma’lum o’zgaruvchilar, a₁₁, a₁₂, …, a_nn - haqiqiy sonlar, tenglamalar sistemasining koeffisiyentlari va b₁, b₂,…, b_n haqiqiy sonlar, tenglamalar sistemasining ozod xadlari deyiladi.
Chiziqli tenglamalar sistemasining yechimi deb uni tenglamalarini ayniyatlarga aylantiruvchi x₁ ,x₂ ,…, x_n sonlarga aytiladi.
Chiziqli tenglamalar sistemasini vektor ko’rinishda quyidagicha yozish mumkin:
Ax=b (3.2)
Bu yerda:

(nxn) o’lchovli matrisa,

(nx1) o’lchovli noma’lum vektor ustun,

(nx1) o’lchovli ozod had deb ataluvchi vektor ustun.
A* = [A, b] - kengaytirilgan matrisani kiritamiz. Chiziqli algebra kursidan ma’lumki (Kroneker-Kapelli teoremasi) A va A* matrisalarning ranglari teng bo’lsa (3.1) yoki (3.2) sistemaning yechimi mavjud bo’ladi.


4.2. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning aniq usullaridan keng qo’llaniladiganlari Gauss, Kramer va teskari matrisa usullaridir, taqribiy usullarga esa iterasiyalar(ketma-ket yaqinlashish ), Zeydel va kichik kvadratlar usullarini keltirish mumkin.

Aniq usullardan Kramer usulini ko’rib chiqamiz. Buning uchun det(A)≠0 bo’lishi kerak. Usulni to’liq keltirish uchun sistemaning asosiy matrisasi A ning k-ustun elementlarini ozod had b bilan almashtirib A_k, k =1,n matrisalar hosil qilamiz. U holda det(A)≠0 shart asosida yechimni topish uchun , tengliklardan foydalanish mumkin. Bu yerda foydalanilgan det(A) MATLAB funksiyasi bo’lib, A matrisaning determinantini xisoblab beradi. Taqribiy usullardan iterasiya usulini keltiramiz. Buning uchun (3.1) sistemani quyidagicha ko’rinishga keltiramiz:
(3.3)
Bu yerda i≠j bo’lganda

U holda

_{ }
belgilashlar kiritib (3.3) ni quyidagicha yozib olamiz.
x= β+ αx (3.4)
Endi (3.4) sistemani ketma-ket yaqinlashish (iterasiya) usuli bilan yechamiz. Boshlang’ich yaqinlashish uchun x⁽⁰⁾= β ozod hadni olamiz va ketma-ket keyingi yaqinlashishlarni hosil qilamiz:
x⁽¹⁾= β+ x⁽⁰⁾;
x⁽²⁾=β+ x⁽¹⁾;
……………
x^(k+1) =β+ x^(k);
Agar x⁽⁰⁾, x⁽¹⁾,…, x^(k),… sonlar ketma-ketligi limitga ega bo’lsa, u holda bu limit (3.3) yoki (3.4) sistemaning yechimi bo’ladi. Yaqinlashishlarni ochiq holda quyidagicha yozish mumkin:

_(3.5)
Yechimni taqribiy hisoblashning ana shunday usuli iterasiya usuli deyiladi. Iterasiya prosessining yaqinlashuvchi bo’lishini yetarli shartini quyidagicha teoremada keltiramiz:
Teorema. Agar o’zgartirilgan (3.) sistemada quyidagi shartlardan

1. 
   _{i = 1,2,…n}
   
2. 
   _{j = 1,2,…n}
   

biri bajarilsa, u holda bu sistema uchun hosil qilingan (3.5) iterasiya jarayoni yagona yechimga yaqinlashuvchi bo’ladi, ixtiyoriy boshlang’ich nuqta x(0) uchun.
Vektor ko’rinishidagi (3.2) sistemani detA≠0 bo’lgan holda teorema shartini qanoatlantiradigan sistemaga keltirish mumkin:
(A^-1-ε)Ax=Db, D= A^-1-ε; (3.6)
Bu yerda ε =[ε_ij] - yetarli kichik sonlardan iborat bo’lgan matrisa. Yuqoridagi (3.6) belgilashlardan foydalanib, quyidagini olamiz
x=β+αx, (3.7)
bu yerda α= εA, β=Db, bo’lib ε_ij lar yetarli kichik qilib olinsa teorema shartlari bajariladi.