3-ma’ruza mashg’uloti mavzu: Misr va Vavilon xalqlarida matematik va astronomik tushunchalar. Hisoblash usullari, arifmetik masalalar va figuralarning yuzalari, tenglama va tenglamalar sistemalari

3-MA’RUZA MASHG’ULOTI


Mavzu: Misr va Vavilon xalqlarida matematik va astronomik tushunchalar. Hisoblash usullari, arifmetik masalalar va figuralarning yuzalari, tenglama va tenglamalar sistemalari.

Reja:
1) Qadimgi Misr va Vavilon olimlarining matematik va astronomik bilimlari;

2) Arifmetik masalalarni hal qilish usullari;
3) Algebra masalalari hal qilish usullari;
4) Kvadrat tenglama va sistemalarini yechish usullari;
5) Figuralarni o’lchash haqida.

Qadimgi Misr matematiklar haqidagi ma’lumotlar asosan hozirda Londonda saklanayotgan Raynda tomonidan topilgan matematika pipirius (U 1858 yili ukilib uzunligi 5,5 m eni 32 sm. 84 amaliy masala jamlangan).

Ikkinchi kattarog‘i Moskvada saklanmokda.U Axlis papirusi bo’lib, uzunligi 5,5 m eni 8 sm, 25 ta amaliy masala kiritilgan). 1882 yili akademiklar Turaev va Struve tomonidan ukilgan.
Birinchisining yoshi e.o 1650 yil bulsa ikkinchisiniki e.o. 1850 yildir.
Har ikkala papirusdagi masalalar deyarli umumiy bo’lib, birinchisida 14-masalada asosi vkadrat bulgan kesik piramidaning hajmini tug‘ri hisoblagan. Ikkinchisida 10- masalada egri chizikli sirt yuzi - balandligi asosining diametriga teng bulgan savat (korzina) ning yon sirti tug‘ri topilgan.
Bu ikki papirusni o’rganish natijasida misrlik olimlarga kuyidagilar ma’lum ekanligi aniklandi.
1) Unli ieroglifli sanoq sistemasi. Bog‘lovchi sonlar 10^k ( k = 0,1,2,...7) ko’rinishda bo’lib, alohida belgilar qo’yilgan. Algoritmik sonlar esa bularning kombinatsiyasi natijasida hosil kilingan.
2) Kasr sonlar fakat 1/n ko’rinishida bo’lib, boshkalardan ayrimlari (ms; 2/3, 3/4) ishlatilgan. Boshka har kanday ko’rinishdagi kasrlar shularning yig‘indisi ko’rinishida tasvirlangan. Bajarilayotgan amallarni engillatish uchun maxsus jadvallar tuzilgan. Hamma amallar iloji boricha qo’shish holiga olib kelingan.
Mis : 1.Ikkilatish usuli ( kupaytirish)
12*12=144 4^*+8^* 48+96=144
II. Ikkilatish va yarimlash ( ) lash (bulish).

1) (19:8)	1	8	2) 4:15)	1	15
	2	16^*		1/10
		4		1/5	3^*
		2^*		1/15	1^*
	1/8^*	1^*
(16^*+2^*+1^*):8= 19:8= 2			(3^*+1^*):15=4:15=

3) “hau” amali, ya’ni ax + vx + … + sx = ko’rinishdagi chizikli tenglamalarni yechish.

4) Turli maxrajli kasrlarni qo’shishda yordamchi songa kupaytirish usulini kullaganlar. Bu hali umumiy maxrajga keltirish emas, lekin primitiv holidir.
YUkoridagilardan shu narsa ma’lum buladiki bundan 4000 yil ilgari qadimgi Misrda matematika fan sifatida shakllana boshlagan.
Qadimgi Vavilon (Tigr va Evfrat daryolari oraliklari hozirgi Irok) matematiklari haqidagi ma’lumotlar Misrdagi matematika bilan bir vaktda shakllana boshladi .Qadimgi Vavilionliklar mustakil ravishda (shumerы -) ponasimon shakllar yordamida loy plitkalarga yozishni (kuyoshda ko’ritilgandan sung mustahkam buladi) yulga kuydilar. Kupdan – kup topilgan bunday plitkachalar kadim zamonda (hatto greklardan 1500 yil oldin) matematikadan amaliy maksadlarda unumli foydalanganlar. Ular hakli ravishda astronomiyaning asoschisi hisoblanadilar (greklar ularning astronomiyasiga asoslanganlar).
Jumladan haftaning 7 kunga bulinishi, doirani 360⁰ ga bulish, 1 soatni – 60 minutga, minutni – 60 sekundga, sekundni – 60 tersiyga bulish ulardan meros kolgan.
YAna ular yulduzlarga karab kelajakni bashorat qilish fani – astrologiyaning ham asoschilaridir.
Bizgacha etib kelgan yuz mingga yakin loy plitkalardan – taxminan 50 tachasi matematik mazmunga ega bo’lib, 200 tachasi matematik tablitsadan iboratdir.
Sanoq sistemasi 60 lik bo’lib, chapdan ungga yozilgan.Butun sonlar va kasr sonlar uchun yagona arifmetik koidalar yaratganlar. Hisoblashni engillatish uchun 1*1 dan 60*60 gacha an jadvali tuzganlar. Bulish kupaytirishga teskari amal sifatida karalgan, ya’ni a:v = ko’rinishda.
YAna butun sonlarning kvadratlari va kublari, kvadrat ildizlar va n²+n³ ko’rinishdagi sonlar uchun jadvallardan foydalanganlar. Nol bulmagan (urni bush koldirilgan).
Bulardan tashkari plitkalarda protsentlar va proporsiyalar bulishlar haqida ham ma’lumotlar bor.
B.L.Vander Varden uzining “Probujdoloщayasya nauka” (Uyg‘onayotgan fan) kitobida Vavilon tablichkalaridagi barcha ma’lumotlarni analiz kilib kuyidagi xulosalarga keladi;
1) Bir noma’lumli tenglamalar: ax=v, x²=a, , x³=a, x²(x+1)=a;

2) Ikki noma’lumli tenglamalar sistemasi:

;

3) Arifmetik progressiyalarning yig‘indisini hisoblash;

4)

5) Doiraning yuzi S = (s-aylana uzunligi) formula bilan hisoblangan. Bu erdan P = 3 topilgan;

6) Tekis figuralarning yuzalarini hisoblash;
7) Burchaklarni va tr. Munosabatlarni hisoblash.
1945 yil Neygebauer va Saks (AKSH, Kolumbiya universiteti) ukigan plitkada tomonlari ratsional sonlar bulgan tug‘ri burchakli uchburchaklarning ruyxati, ya’ni ; Pifagor sonlari x²+u²=z². Ularning tanlash metodlari x=r²-g², u=2rg, z=p²+g² ko’rinishdagi formulalarga olib keladi. Bular esa Diofant tenglamalardir.
Xulosa kilib shuni aytish mumkinki Vavilionliklar matematikasi konkret masalalardan ajralgan holda umumiy metodlar bilan ifodalangan algebra ko’rinishga yakin keltirilgan (Neygebauer, Fogel).
Ba’zi masalalardan namunalar.
1) echilsin.
Bu (12x) ^3­­­­+(12x) ²= 252 yoki 12x=6 (jadvalga asosan)

Demak, x³+x²=a ko’rinishdagi tenglama echilgan.

2) 20 % foyda keltiruvchi pul, kancha vaktda ikki baravar kupayadi ?
Buni yechish uchun ko’rinishiga keltiriladi. Dastlab, 3Misr va Vavilionliklar matematikasi eramizdan avvalgi V asrga kelib , mantikiy fikirlash va isbotlashlarni asoslash uchun etarli darajada abstraktlashgan, asosiy tushuncha va jumlalari insonniig fikirlash obektiga aylangan mustakil fan sifatida shakillanganligining guvoxi buldik .Bundan keyingi matematikaning rivojlanishi VI – V asrlarda antik davrga, yani Gr etsiya – Rim davriga tug‘ri keladi.


Tekshirish savollari:

1. 
   Qadimgi xalqlarda matematik va astronomik bilimlarni izohlab bering.
   
2. 
   Qadimgi Misrda matematik bilimlar kanday shakllangan?
   

3. Qadimgi Vavilonda matematik bilimlar kanday shakllangan?
4. SHarkdan boshka erlarda matematik tushunchalarni shakllantirish kanday kechgan?