3. Limitik nuqta. Ko`p o`zgaruvchili funksiya

Mashq. Ochiq to`plamlarning cheksiz to`plamining kesishmasi uchun to`plam bo`lmasligi mumkunligini ko`rsating.
2-teorema. Yopiq to`plam quyidagi xossalarga ega.

1. 
   fazo va to`plam yopiq to`plamdir.
   
2. 
   Yopiq to`plamlarning ixtiyoriy to`plamning kesishmasi yopiq to`plamdir.
   
3. 
   Chekli sondagi yopiq to`plamlarning birlashmasi yopiq to`plamdir.
   

Bu teoremaning isbotini mustaqil bajarishga qoldiramiz .
3-teorema. fazoning har qanday chegaralangan ketma-ketligidan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkun.
Isbot. Isbotni fazo uchun bajaramiz. Umumiy hol o`xshash qaraladi fazoning chegaralangan ketma-ketligi bo`lsin. U holda Sonli ketma-ketlik chegaralangan bo’ladi. Bol’sano-Veyershtarss teoremasiga ko’ra bu ketma-ketlikda yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratush mumkin. U holda ketma-ketlikda birinchi kordinatasi yaqinlashuvchi, ikkinchi kordinarasi chegaralangan bo’ladi. Yana bir marta Bol’sano-Veyershtarss teoremasini qo’llab chegaralangan ketma-ketlikda yaqinlashuvchi qismiy ketm- ketlik ajratib olamiz. Natijada ketma-ketlikda birinchi kordinatasi ham yaqinlashuvchi bo’ladi. 3-lemmaga ko’ra ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’ladi.
5. To’plamning chegaralari. To’lam berilgan bo’lsin. Agar nuqtaning ixtiyoriy atrofida to’plamga qarashli bo’lgan elementlar ham, bo’lsa, u holda nuqta to’lamning chegara nuqtasi deyiladi.
to’plamning chegara nuqtalari to’plamga qarashli bo’lishi ham mumkin, qarashli bo’lmasligiham mumkin.
to’plamning barcha nuqtalari to’plamni kabi belgilanadi va to’plamning chegarasi deyiladi masalan:
, , ;

Ko`p o`zgaruvchili funksiya.
fazodagi M to`plamning har bir elementi ga biror haqiqiy sonni mos quyivchi funksiyani qaraylik. Bu funksiya ko`po`zgaruvchili ( argumentli) funksiya deyiladi va ,
kabi ham belgilanadi. Odatda to`plamga funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi.
Masalan, funksiya fazoda markazi O(0,0) nuqtada va radusi 2 ga teng bo`lgan yopiq sharda aniqlangan funksiya esa fazo tog`ri chizig`i nuqtalaridan boshqa barcha nuqtalarda aniqlangan.
fazoning M to`plamida funksiya aniqlangan bo’lsin. fazoning ko`rinishdagi nuqtalar to`plami f funksiyani grafgi deyiladi. C o`zgarmas son berilgan bo`lsin, fazoning

tenglamani qanatlantiruvchi nuqtalar to`plami f funksiyaning c soniga mos keluvchi sath to`plami diyiladi.
n=2 bo`lgan sath to`plam sath chizig’i, n=3 bo`lganda sath sirtlari, n>3 bo`lganda esa sath gipirsirtlari deb ham ataladi.