3-lhi 1-topshiriq: d moddiy nuqtaning harakat differensial tenglamalarini integrallash

D.6. topshiriq. Dinamikaning asosiy teoremalarini moddiy nuqtaning harakatini tekshirishga tadbiq etish.
Moddiy nuqta deb qabul qilinuvchi sharcha o῾qi vertikal tekislikda joylashgan naychaning ichida A vaziyatdan harakat boshlaydiSharchaning B va C vaziyatlaridagi tezligi hamda C vaziyatida uning naycha devoriga beradigan bosimi topilsin. Trayektoriyaning egri chiziq qismlarilagi ishqalanish hisobga olinmasin. 3, 6, 7, 10,13, 15, 17, 19, 25, 28, 29 – variantlarda sharcha h₀ yo῾l o῾tib prujiladan ajraladi.
Topshiriqda quyidagi belgilashlar qabul qilingan: t – sharchaning massasi, v_A – sharchaning boshlang῾ich tezligi, τ – sharchaning AB qismida harakatlanish vaqti (1, 2, 5, 8, 14, 18, 20, 21, 23, 24, 27, 30) yoki (3, 4, 6, 7, 9 – 17, 22, 25, 26, 28, 29 variantlar uchun BD qismida sharchaning harakatlanish vaqti, f – truba devoridagi sharchaning ishqalanishidagi koeffisenti, h₀ – prujinaning boshlang῾ch deformasiyasi, h – prujinaning maksimal siqilishi, c – prujinaning bikirlik koeffisenti, H – sharchaning maksimak ko῾tarilish balandligi, s – sharchaning to῾xtaguncha o῾tgan yo῾li.


Топширикда куиидаги белгилашлар қабул қилинган: т — шарчанинг массаси, v_A — шарчанинг бошлангич тезлиги, т — шарчанинг АВ қисмда (1, 2, 5, 8, 14, 18, 20, 21, 23, 24, 27, 30-вариантларда) ёки BD кисмда (3, 4, 6, 7, 9-13, 15-17, 19, 22, 25, 26, 28, 29-вариантларда) харакатланиш вақти, f — шарчанинг найча деворига сирпаниш ишқаланиш ко­эффициенти, h₀ -пружинанинг бошлангич деформацияси, А пружи­нанинг максимал сиқилиши, с — пру­жинанинг бикирлик коэффициенти, H — шарчанинг максимал кўтарилиш баландлиги, s — шарчанинг тўхтагунча ўтган йўли.
Топшириқни бажариш намунаси. Берилган: t=0,5 кг, v_A=0,8 м/с; τ=0,1 с (BD кисмда хдракатланиш вакти); R=0,2м; f=0,1; α=60°; β=30; h₀=0; с=1000 Н/см. v_B, v_C, N_C , N_D , h аниклансин. Е ч и ш: v_B ,ва v_C ни аниклаш учун моддий нуқта кинетик энергиясининг ўзгариши хакидаги теоремани қўллаймиз. Шарчани траекториянинг АС ва АВ қисмларидаги ҳаракати оғирлик кучи G
таъсири остида рўй беради (эгри чизикли кисмлардаги ищкаланиш кучини хисобга олмаймиз):


тv²_B /2 -тv²_A /2 = ΣAi=GН₁ = mg AB sin = 6 mg R sin α,
v²_B -v²_A = 12gR sin α
v_B =4,59 м/с;
тv²_C/ /2- тv²_A /2=ΣAi =GH₂= mg(4 R sin α + 2R cos α),


v²_C-v²_A =4gR(2sin α + cos α)


v_C = √ v²_A4gR(2sin α + cos α)


v_C=4.26 м/c
Шарчанинг канал деворига босимини унинг С вазиятида аниқлаймиз.
Моддий нукта учун Даламбер принцигшга асосан нуктага қўйилган кучларнинг ва бу нуқта инерция кучининг геометрик йиғиндиси нолга тенг:
G + N'_c + Ф = 0.
Моддий нуқтаиинг инерция кучини нормал ва уринма ташкил этувчиларга ажратши мумкин:
ф = ф_n +ф τ.
G, n_c ва ф кучларнинг х ўқига проекцияларининг йиғиндиси нолга тенг бўлиши керак:
N’_c-Gcos60º- Ф_n = 0.
Бу ердан
N'_c = G cos 60° + Фn - mg cos 60° mv²_C / 2R
ёки
N'_c = 25,2 Н.
N’c реакцияни шунингдек табиий харакат тенгламалари ёрдамида ҳам аниқлаш мумкин: '
mv²C/ 2R=Σ Pi cos (Pi ^ n )= N'_c- G cos 60°.
Буердан
N'_c= G cos 60°+ mv²_C/ 2R
Шарчанинг найча деворига босими N _С сон қиймати жиxатдан топилган N'_c реакцияга тенг ва қарама-қарши томонга қўиллган.
Шарчанинг D вазиятдаги тезлигини моддий нуқта харакат миқдорининг ўзгариши хакидаги теоремани BD кисм учун тадбик этиб топамиз:

F=fN’=f G cos β

нуқтага оғрлик кучи G, найча деворининг реакцияси N' ва ишқаланиш кучи F қўйилади
v_Dx=v_D,, v_Bx=v_B ,
ΣS _iX =G sin β ·t –F·t = - mg sinβ·t-f mg cos β бўлгани учун
mv_D –mv_B=-mg sin β·t- fmg cos β·t,
Бу ерда
v_D=4.01м/с

пружинанинг максимал сиқилиши h ни топиш учун DE қисмда моддий нуқта кинетик энэргиясининг ўзгариш хакидаги теоремадан фойдаланамиз:

mv²_E /2- mv²_D/2=Σ Ai=ch²/2-GH₃ –F
vE=0 ва H3=h sin β эканлигини ҳисобга олиб қуйидаги тенгламани хосил қиламиз
сh² /2+G (sin β+ f cos β)h- mv²_D/2=0
ёки
h² +2G (sin β+ f cos β)/с- mv²_D/с=0
олинган квадрат тенгламани h га нисбатан ечамиз:
h=(-0.00±0,090) м
қидирилаётган катталик сифатида квадрат тенгламанинг мусбат илдизини оламиз:
h=-0.003+0.090=0.087 м