3-labaratoriya mashg’uloti: Tenglamaning ildizlarini topish usullari; Kesmani teng ikkiga bo’lish, Oddiy iterasiya, Nuyton metodlari va modifikasiyalari. (4 soat)

Ildizlarni analitik usulda ajratish. Bu holda funksiyaning birinchi tartibli hosilasi aniqlanadi, tenglamani yechib funksiyaning kritik nuqtalari aniqlanadi. Kritik nuqtalarda funksiyaning ishora almashinishlari aniqlanadi.

funksiyaning kritik nuqtalarini topamiz. funksiyaning qiymatlar jadvalini tuzamiz va ishora almashish oraliqlarini aniqlaymiz.

X	-4	-3	-2	-1	0	1
F(x)	76	-23	-20	1	-20	-119
Sign(f)	+	-	-	+	-	-

Demak tenglamaning ildizlari [-4;-3], [-2;-1] va [-1; 0] oraliqlarda yotar ekan.

Ildizlarni grafik usulda ajratish. Bu holda tenglama elementar funksiyalar yordamida ko’rinishda yozib olinadi. funksiyalarning qiymatlar jadvali tuzilib, ularnng grafiklari chiziladi. funksiyalar grafiklarining kesishish nuqtalari yotgan eng kichkina oraliq tenglamaning ildizi yotgan oraliq bo’ladi.

Qaralayotgan funksiyani ko’rinishda yozib va funksiyalarga ajratamiz. Bu funksiyalarning qiymatlari quyidagi jadvalda keltirilgan.

x	f(x)	f1(x)	f2(x)
-5,00	385,00	-395,00	-780,00
-4,00	76,00	-404,00	-480,00
-3,00	-23,00	-299,00	-276,00
-2,00	-20,00	-164,00	-144,00
-1,00	1,00	-59,00	-60,00
0,00	-20,00	-20,00	0
1,00	-119,00	-59,00	60
2,00	-308,00	-164,00	144
3,00	-575,00	-299,00	276
4,00	-884,00	-404,00	480
5,00	-1175,00	-395,00	780

Jadvaldagi qiymatlarga asoslanib bu funksiyalarning grafiklari chizamiz.

Grafiklarning kesishish nuqtalari, ya’ni tenglamaning ildizlari [-4;-3], [-2;-1] va [-1; 0] oraliqlarda yotar ekan.

2. Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni taqribiy yechish usullari.

Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni Vatarlar, Nyuton (urinmalar) va oddiy iterasiya usullari yordamida taqribiy yechish mumkin.

Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni yechishdan avval ularning ildizlarini ajratib olish kerak bo’ladi. Ildizlarni ajratish deganda taqribiy ildizlar yotadigan oraliqlarni aniqlash tushuniladi. Ildizlarni ajratish uchun ildizlarni ajratishning grafik yoki analitik usullaridan foydalanish mumkin. Tenglamaning ildizlarni ajratib olganimizdan so’ng quyidagi usullarning biridan foydalanib tenglamaning yechimini topish mumkin. Faraz qilaylik, ildiz oraliqda yotsin.

Vatarlar usuli.

a) Agar [a, b] oraliqda bo’lsa, u holda

,

bunda .

b) Agar [a, b] oraliqda , u holda

bunda .

Nyuton usuli (Urinmalar usuli). Agar [a, b] oraliqda bo’lsa, u holda ; agar bo’lsa, u holda bo’ladi va quyidagi formula bilan xisoblanadi.

.

Iterasiya usuli. tenglamani tenglama ko’rinishiga keltirish kerak. Masalan quyidagicha

.

k –ni shunday tanlash kerakki, qanoatlantirsin, bunda . -ning ishorasi [a, b] oraliqda funksiyaning ishorasi bilan mos tushsin. Iterasion jarayon [a, b] oraliqda shartga asosan yaqinlashadi. Ildizlar quyidagi formulalar yordamida aniqlanadi.



ning kiymati [a, b] oraliqdan olingan.

Aniq yechimni quyidagi munosabatdan foydalanib baholash mumkin.

,

bunda x* - ildizning aniq kiymati, .

tenglamaning ildizlarini Vatarlar usulida hisoblash dasturni qaraymiz.
Masalaning Paskal dasturi

Program Tenglama;

Uses Crt;

const

n=3; Eps=0.001;

var

i,j: integer;

a1,a2,a3,a4: real;

a,b : array[1..5] of real;

x : array[0..100] of real;

f1 : text;

Function F(x1:real): real;

Begin

F:=sqr(sqr(x1))+a1*sqr(x1)*x1+a2*sqr(x1)+a3*x1+a4;

end;

Begin

ClrScr;

assign(f1,'c:\L.otv'); rewrite(f1);

a1:=-4; a2:=-40; a3:=-56; a4:=-20;

a[1]:=-4; a[2]:=-2; a[3]:=-1; a[4]:=0;

For j:=1 to n do BEGIN

if F(a[j])<0 then Begin

x[0]:=a[j]; i:=0;

Repeat

x[i+1]:=x[i]-(F(x[i])/(F(a[j+1])-F(x[i])))*(a[j+1]-x[i]);

i:=i+1;

until Abs(x[i]-x[i-1])>Eps; End

else Begin

x[0]:=a[j+1]; i:=0;

Repeat

x[i+1]:=x[i]-(F(x[i])/(F(x[i])-F(a[j])))*(x[i]-a[j]);

i:=i+1;

until Abs(x[i]-x[i-1])>Eps; End;

Writeln(f1,'Ildiz yotgan oraliq [',a[j]:6:4,' ; ',a[j+1]:6:4,']');

Writeln(f1,'Tenglamaning ildizi = ',x[i]);

END;

Close(f1);

End.
Dasturning natijasi

Ildiz yotgan oraliq [-4.0000 ; -2.0000]

Tenglamaning ildizi = -2.41666666666788E+0000

Ildiz yotgan oraliq [-2.0000 ; -1.0000]

Tenglamaning ildizi = -1.04761904761835E+0000

Ildiz yotgan oraliq [-1.0000 ; 0.0000]

Tenglamaning ildizi = -9.52380952380736E-0001

Topshiriqlar

Berilgan tenglamani vatarlar va Nyuton usullarida yeching

1.		14.
2.		15.
3.		16.
4.		17.
5.		18.
6.		19.
7.		20.
8.		21.
9.		22.
10.		23.
11.		24.
12.		25.
13.		26.

Vazifa:

Quyidagi jadvalni daftaringizga chizib to’ldiring.

Bilaman

Bildim (mavzudan olingan yangi ma’lumotlar)

Bilishni istayman (qiziqtirgan savollar)

O’tilgan mavzu yuzasidan savol-javob o’tkaziladi.

Mustaqil ishlash bo’yicha savollar

1. 
   Chiziqli bo’lmagan tenglamaning ildizlarini ajratish usullari g’oyasini tushuntirib bering?
   
2. 
   Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni taqribiy yechish usullarini tushuntirib bering?
   
3. 
   Chiziqli bo’lmagan tenglamalarni taqribiy yechish usullari xatoligi qanday baholanadi?