3 Глава Параллельные вычисления при численном решении уравнений математической физики

Пример применения метода Гаусса

Для решения системы (4) мы также можем использовать метод Гаусса - метод последовательных исключений неизвестных. Рас- смотрим пример:

x₁ + x₂ + 3x₄ = 4, 2x₁ + x₂ − x₃ + x₄ = 1,
3x₁ − x₂ − x₃ + 2x₄ = −3,
−x₁ + 2x₂ + 3x₃ − x₄ = 4,

Теперь рассмотрим обратные замены:
−13x₄ = −13, ⇒ x₄ = 1, 3x₃ + 13x₄ = 13 ⇒ x₃ = 0,
−x₂ − x₃ − 5x₄ = −7, ⇒ x₂ = 2,

3. Метод исключения Гаусса в общем случае

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнения

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = f₁, a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = f₂,
a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... + a_nnx_n = f_n,

который в матричной форме выглядит так: Ax = f

(6)

.

ǁ ǁ
Здесь A = a_ij - матрица с индексами i, j = 1, .., n, x =

/
(x₁, x₂, ..., x_n)^T и f = (f₁, f₂, ..., f_n)^T суть векторы. Вектор x неизве- стен. Предположим, что det A = 0.

≈
Если n имеет большое значение, то методом Крамера потребу- ется много времени для выполнения вычислений, приблизительное количество операций имеет порядок n!. Напротив, метод Гаусса го- раздо быстрее, так как ему нужно приблизительно n³/3 операций. Для примера, если n = 10, тогда 10! = 3628800 в сравнении с 10³/3 333. Таким образом метод исключений Гаусса более эф- фективен при численном анализе.
После n шагов по прямому устранению неизвестных мы полу- чаем систему с верхней треугольной матрицей U

Сделав следующий шаг, получим


0 + a

k+1,n

k+1

(k)
k+1,k+1

x_k+1 + ... + a^(k)

x_n = f ^(k) ,

(9)
x_k + u_k,k+1x_k+1 + ... + u_kn x_n = y_k,

улы представляют собой первую часть алгоритма. Они описывают последовательное исключение неизвестных x_i. Неиз- вестные могут быть легко найдены из полученной системы с по-

≤ ≤ −
для 1 i n 1, если i = n, мы имеем x_n = y_n. Эти формулы обеспечивают вторую часть алгоритма. Используя этот алгоритм, мы можем построить компьютерный код.

Решение уравнений методом Гаусса

Пример №1 решение уравнений методом Гаусса:

С первой строки определяем х. Сначала -2у переносим на другую сторону уравнения, а затем обе стороны делим на 4.

Теперь во второе уравнение системы подставляем значение х. Находим у. 

Теперь когда у нас есть значение у, ми возвращаемся в первое уравнение и определяем х.

Ответ: x=−54;y=32x=−54;y=32
Пример №2.

Для упрощение перепишем уравнение так, чтобы на первом месте была строка с коэффициентом 1.

Теперь последовательно исключаем x1x1 с последующих строк. Для исключения с второго уравнения обе части первого уравнение надо умножаем на -3, а затем сложить с вторым.

Так же и с третьим уравнением, только умножение на -4.

Теперь приводим уравнение к ступенчатому виду. Нужно сделать так, чтобы во второй строке возле x2x2 стала 1. Значит нам надо обе части уравнения умножить −14−14

Для того чтобы избавится от x2x2 в третьим уравнении, мы множим вторую строку на 5 и слаживаем её с третьей.

Теперь с третьей строки находим x3x3.

Мы закончили прямой ход метода Гаусса. Теперь приступаем к обратному ходу. Подставляем значение х₃ во вторую строку и вычисляем x2x2

Подставляем значение x2иx3x2иx3 в первое уравнение и вычисляем x1x1.
⎧⎪⎨⎪⎩x1=1x2=2x3=3{x1=1x2=2x3=3
Ответ: x1=1,x2=2,x3=3

4.