3. Гаусс методи

3. Гаусс методи.


Аx=f (1)
Чизиқли тенгламалар системаси берилган бўлсин. Бу ерда А - n x n -матрица, х=(х₁,х₂,...,х_n)- топилиши лозим бўлган номаълум сонлар, f- озод ҳадлардан тузилган вектор.
А матрицанинг детерминанти нолдан фарқли деб фараз қилинади.Унда (1)- системанинг ечими мавжуд ва ягона бўлади.
Гаусс методининг асосий ғояси (1) - системани эквивалент алмаштиришлар билан тўҒри тўртбурчакли системадан, учбурчакли системага олиб келишдан иборат.
(1) - системани тенгламалар кўринишида ёзамиз:
а₁₁х₁+а₁₂х₂+...+а_1nх_n=f_1,
а₂₁х₁+а₂₂х₂+...+а_2nх_n=f_{2 ,} (2)
_{.......................................}
а_n1х₁+а_n2х₂+...+а_nnх_n=f_n.
a₁₁0 деб фараз қиламиз, акс ҳолда тенгламалар ўрнини алмаштириш ва қайта белгилаш билан системани шу кўринишга келтириш мумкин. Биринчи тенгламани а₁₁ -га бўлиб

х₁+с₁₂х₂+...+с_1nх_n=y₁, (3)

тенгламани ҳосил қиламиз, бу ерда

Энди (2) - системанинг қолган тенгламаларини қараймиз:

a_i1х₁+а_i2х₂+...+а_inх_n=f_i , i=2,3,...,n. (4)

(3) - тенгликни a_i1 - га кўпайтириб (4) – системанинг i-тенгламасидан айирамиз, i=2,3,...,n . Натижада

х₁+с₁₂х₂+...+с_1jх_j+ ... + с_1nх_n =y₁,
а₂₂⁽¹⁾х₂+...+а_2j⁽¹⁾х_j+...+а_2n⁽¹⁾х_n=f₂⁽¹⁾ _, (5)
......................................................
а_n2⁽¹⁾х₂+...+а_nj⁽¹⁾х_j+...+а_nn⁽¹⁾х_n=f_n⁽¹⁾,
тенгламалар системасини ҳосил қиламиз.
Бу ерда
a_ij⁽¹⁾=а_ij –c_1jа_i1, f_i⁽¹⁾ =f_i – y₁ a_i1, i,j =2, 3,...,n . (6)
(5)- системанинг матрицаси

кўринишга эга.
Бундай кўринишли матрицани

каби белгилаш қабул қилинган.
Бу ерда "x" белги билан ноль бўлмаган элементлар белгиланган. (5) - системада х₁ - номаълум фақат 1-тенгламада бор бўлиб, бошқа тенгламалардан йўқотилган. Бундан сўнг
а₂₂⁽¹⁾x₂+...+а_2j⁽¹⁾х_j+...+а_2n⁽¹⁾х_n=f₂⁽¹⁾
...................................................... (7)
а_n2⁽¹⁾x₂+...+а_nj⁽¹⁾х_l+...+а_nn⁽¹⁾х_n=f_n⁽¹⁾
система билан ишлаймиз.
Шундай қилиб Гаусс методининг биринчи қадами амалга оширилди. Агар , бўлса, унда (7) - системадан худди биринчи қадамдагидек х₂ - ни йўқотиб, (2) - системага эквивалент бўлган матрицаси

кўринишли системага келамиз.
Бунда (5) - системанинг биринчи тенгламаси ўзгаришсиз қолади. Худди шундай х₃,х₄, ... , х_n ўзгарувчиларни йўқотиб, (2) - системага эквивалент бўлган
x₁+с₁₂х₂+...+с_1nх_n=y₁,
х₂+...+с_2nх_n=y₂,
........................... (8)
х_n-1+с_n-1,nх_n=y_n-1,
х_n=y_n.
системага эга бўламиз .
Бу система матрицаси
. (9)
бош диагоналидан пастдаги барча элементлари нолдан иборат.
Бундай матрицаларни юқори учбурчакли матрица деб айтиш қабул қилинган. (8)- системани ҳосил қилиш Гаусс методининг тўҒри йўли деб айтилади. Гаусс методининг тескари йўли х_n,х_n-1,..., х₁ -ларни кетма-кет топишдан иборат. (8) - система матрицаси учбурчакли бўлганлиги учун x_n, x_n-1,...x₁ номаълумларни кетма-кет топиш мумкин.
Ҳақиқатан ҳам x_n=y_n, x_n-1=y_n-1 – c_n-1y_n ва ҳоказо.
Тескари йўлнинг умумий формулалари:
x_n=y_n.
i=n-1,n-2, ... ,1. (10)
каби ёзилади.