3-Amaliy mashg’ulot: Bir noma`lumli algebraik va transsendent tenlamalarni vatarlar va urunmalar usulida taqriban yechish. Ishning maqsadi

Ildizlarni grafik usulda ajratish.

F(x)=0 tenglamaning haqiqiy ildizlarini y=f(x) funksiya grafigining o’qi bilan kesishgan nuqtalarining absissalari sifatida aniqlash mumkin. Agar tenglama o’zaro yaqin ildizlarga ega bo’lsa, bu usul bilan ildizlari osongina ajratiladi. Amaliyotda tenglama f(x)=0 ni unga teng kuchli bo’lgan boshqa bir tenglama bilan almashtirish foydalidir (ikkita tenglama teng kuchli deyiladi, agarda ular bir xil ildizlarga ega bo’lsa), ya’ni
(x)= (x), bu yerda (x) va (x) funksiyalar f(x) funksiyaga nisbatan soda funksiyalardir. Bunday holda y= (x) va y= (x) funksiyalarning grafiklarini chizib, izlanayotgan ildizlarini bu grafiklar kesishish nuqtalarining absissalari orqali aniqlaymiz.

4-misol. Ushbu tenglamani grafik usulda yeching.

Yechish. Ushbu tenglamani quyidagi ko’rinishda yozib olamiz.

Bundan ko’rinadiki, berilgan tenglamaning ildizlari logarifmik egri chiziq y= va giperbola y=1/x ning kesishgan nuqtalari absissalari sifatida aniqlanadi. Koordinata tekisligida bu egri chiziqlarni chizib, berilgan tenglamaning yagona ildizi ni topamiz.

y 0 1 2 3 4 5 x

Tenglama (x)= (x), ning ildizlarini topish (x) yoki (x), funksiyalardan birortasi chiziqli bo’lganda ancha soddalashadi.
Bu holda berilgan tenglamaning ildizlari y= (x), egri chiziq va y=ax + b to’g’ri chiziq kesishgan nuqtalarining absissalaridan iborat bo’ladi.

3. 
   Tenglamaning ildizlarini topish usullari; Kesmani teng ikkiga bo’lish,
   

f(x)=0,x [a,b] . (3.5)
tenglamaning ildizlarini ajratishga doir ma’lumotlar bilan tonishdik.Ushbu tenglamani echishning ikkinchi bosqich ildizlarni ma’lum aniqlik bilan topishdan iborat. Qaralayotgan f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz va f(a).f(b)<0 bo’sin.Tenglama (3.5)ning ildizini topishda oddiy iteratsiya tuzush uchun tenglama (3.1)ni unga teng kuchli bo’lgan
(3.6)
tenglama bilan almashtiramiz. Tenglama ildiziga biror - bir boshlangich yaqinlashish ni tanlab olamiz. Ildizga kelgusi yaqinlashishlar
(3.7)

Formula bilan topiladi. Bu formula oddiy iterasiya metodi formulasidan iborat.

Kesmani teng ikkiga bo’lish metodi. Bu metod bilan tenglama (1) ning [a,b] kesmaga tegishli ildizini topish uchun [a,b] kesma teng ikkiga bo’linadi:
Agar bo’lsa, u holda tenglamaning ildizi bo’ladi. Agarda bo’lsa, bunday holda yoki kesmalardan qaysi birida funksiya turli ishorali qiymatlarni qabul qilishini aniqlaymiz. O’sha kesmani orqali belgilaymiz va yuqoridagi mulohazalarni yana takrorlaymiz , yani
kesmani yana teng ikkiga bo’lamiz. Agar bo’lsa , u holda tenglama (3.5) ning ildizi bo’ladi , aks holda yoki kesmalardan qaysi birida funksiya turli ishorali qiymatlariga ega eklanligini aniqlaymiz va xakoza. Natijada biror-bir bosqichda tenglama (3.5) ning aniq ildizini topamiz yoki ichma-ich joylashgan cheksiz ko’p kesmachalar ketma-ketligini hosil qilamiz:

Ular uchun

va kesmacha uzunligi

ga teng bo’ladi. Tenglama (2.5) ning yechimini aniqlikda topish uchun kesma N ta bo’lakka bo’linadi.




1-misol. tenglamaning [0,1] kesmaga tegishli ildizlarini kesmani teng ikkiga bo’lish metodi bilan aniqlashtiring.
Yechish. Yuqorida keltirilgan metod asosida ketma – ket quyidagilarga ega bo’lamiz:







va hakoza. Tenglamaning ildizi sifatida
𝜉
ni qabul qilish mumkin.