3-§. n o'lchovli affin va vektor fazolarini o'rganish

Teorema 2.4. Skalyar ko‘paytma skalyar ko‘paytuvchiga nisbatan gruppalash qonuniga bo‘ysunadi, ya’ni munosabatlar o‘rinli.

Teorema 2.5. Skalyar ko‘paytma qo‘shishga nisbatan taqsimot qonuniga bo‘ysunadi, ya’ni ixtiyoriy uchta , va vektorlar uchun ushbu tenglik o‘rinli:


Skalyar ko‘paytmaning Dekart koordinatalar sistemasidagi formulasi:
Teorema 2.6. Dekart koordinatalar sistemasida va vektorlar berilgan bo‘lsa, bu vektorlarning skalyar ko‘paytmasi ularning mos koordinatalar ko‘paytmalarining yig‘indisiga teng, ya’ni
(2.2.10)
Agar va bo‘lsa,
(2.2.11)
bo‘ladi.
vektorning uzunligi koordinatalarda
(2.2.12)
vektorning uzunligi esa
2.2.13)
formuladan topiladi.
Vektorlar orasidagi burchak koordinatalari orqali (Dekart koordinatalar sisitemasida), ya’ni skalyar ko‘paytma ta’rifiga ko‘ra, osongina topiladi. va vektorlar uchun
(2.2.14)
va vektorlar uchun
(2.2.15)
formulalar o‘rinli.

2.7-misol.
Ikki va vektorlar orasidagi burchak ga teng va , ekanligi ma’lum bo‘lsa, vektorning uzunligini hisoblang.
► vektorning uzunligini topish uchun vektorlarning skalyar ko‘paytmasidan foydalanamiz. deb belgilab va ni e’tiborga olib, berilgan vektorning har ikki tomonini kvadratga ko‘taramiz:

berilganlarga asosan:

Demak, yoki .◄
Odatda vektorning koordinata o‘qlari bilan tashkil qilgan burchaklarning kosinuslari uning yo‘naltiruvchi kosinuslari deyiladi(2.10-chizma).

2.10-chizma.
vektorning yo‘naltiruvchi kosinuslari uning koordinatalari orqali quyidagicha aniqlanadi:
(2.2.16)
Birlik vektorlarning koordinatalari uning yo‘naltiruvchi kosinuslaridan iborat, ya’ni agar bo‘lsa,
(2.2.17)
(2.2.16) ga ko‘ra,
(2.2.18)
formulani hosil qilish mumkin, ya’ni vektorning yo‘naltiruvchi kosinuslari kvadratlarining yig‘indisi birga teng.