22- маъруза Икки қатламли айирмали схемалар тургунлиги ва яқинлашишини узгарувчиларга ажратиш методи ёрдамида тадқиқ этиш

1.2. Хос сонлар масаласи.
А операторнинг хос сонлар масаласи,
(7)
тенглама нотривиал ечимга эга булган (хос сонлар ёки хос қийматлар) сонларни топишдан иборат.
(6) - оператор учун (7) - тенглама

матрица учун хос сонларни топишнинг алгебраик масаласидан иборат. Бу матрица (6) айирмали масаланинг матрицаси деб айтилади.
А матрица уч диагоналли, симметрик N-1 тартибли матрицадан иборат. Бундай матрица учун N-1 та хақиқий хос қиймат ва хос функциялар мавжуд эканлиги маълум. (6) оператор холида барча хос сонлар ва уларга мос хос функцияларни ошкор куринишда ёзиш мумкин. (7) тенгламани
(8)
ёки батафсил
(9)
куринишда ёзиш мумкин.
(8) - айирмали масала
(10)
дифференциал масаланинг аппроксимацияси хисобланади. Бу дифференциал масаланинг хос сонлари

ва уларга мос хос функциялари

иборат.
Шунинг учун (8) масала хос функцияларини
(11)
куринишда қидирамиз.
Бунда чегаравий шартлар y_i=y_N=0 бажарилган. (11) ни (9) тенгламага куйиб

ёки

тенгламани хосил қиламиз.
Бундан (11)-функциялар булганда (6) операторнинг хос функциялари эканлиги куринади.
Шундай қилиб

(N-1)-та хақиқий хос сонлар ва уларга мос хос функцияларига эга буламиз. Шундай қилиб (8) масала ечими
(12)
куринишда булиши аниқланди.
1.3. Хос қийматлар ва хос функцияларнинг хоссалари.
Хос қийматлар учун

тенгсизликлар уринли. Энг кичик хос сон учун тенгсизлик уринли,
Хос функциялар хоссаларини урганиш учун Н фазода

скаляр купайтма ва

нормани аниқлаймиз.
(6) айирмали хосила оператори А, Н да узига қушма оператордир, яъни барча y ва учун (, )=(y,A ) . Бу тенглик айирмали Грин формуласи деб номланган айниятдан келиб чиқади.
Таърифга кура

Охирги тенглик шартни хисобга олиб хосил қилинган. y ва урнини алмаштириб
(13)
тенгликни хосил қиламиз.
(6) операторнинг узига кушмалигидан турли хос сонларга мос хос функцияларнинг ортогоналлиги келиб чиқади.
Хақиқатдан хам, фараз қиламиз

булсин.
Унда

А нинг узига қушма эканлигидан

Бундан булганлиги учун (y_m,y_k)=0 хосил булади.
Шундай қилиб, (12) хос функциялар тизими ортогонал базис ташкил қилиши аниқланди.
y_k(x) хос функция нормаси квадратини хисоблаймиз. (10) - дифференциал масала холида

булади.
Айирмали холда хам y_k(x) худди шундай нормага эга, яъни га тенг.
Таърифга асосан



ва

эканлигини инобатга олиб

эканлигини курамиз.
Шундай қилиб



хос функциялар системаси Н да ортонормал базис ташкил қиладилар.