20. Проблема выбора базиса

Гл. 20. Проблема выбора базиса

(в L₂(G)), и что выполнение или невыполнение (20.11) зависит от выбора базиса. Следующее требование к базису (20.1) поэтому таково:
д) базис таков, что в случае метода Ритца выполняется (20. II)¹).
Следуя этому введению, приведем некоторые критерии и под­ходы к построению базиса, обладающего свойствами а)—д) или по крайней мере некоторыми из них. Мы существенно используем результаты Михлина, особенно из его монографии [28]. См. так­же [5].
Напомним сначала некоторые классические примеры систем, полных в L₂ (G). Уже в гл. 4 мы отметим систему простых поли­номов: так, в L₂ (а, Ь) полной является система
1, х, х², х³, ... ; (20.12)
в L₂ (G) полной является соответствующая система простых поли­номов от N переменных; например, в плоскости (N = 2)—это система ²)

1. 
   х, у, х², ху, у², ... . (20.13)
   

Однако системы типа (20.12), (20.13) неудобно брать в качест­ве базиса именно в тех случаях, которые представляют для нас наибольший интерес, а именно когда должны выполняться опре­деленные (однородные) граничные условия. Причина заключается в том, что отдельные элементы таких систем не удовлетворяют этим условиям даже в простейшем случае. С другой стороны, в случае функций одной переменной нулевые граничные условия на концах интервала [а, b] удовлетворяются, например, функциями
Ф„(*) = sin^W3T₆⁽^^a), п = 1,2,... (20.14)
(в частности, для интервала [0, я]—функциями
Ф„ (х) = sin пх, о=1, 2, ... ), (20.15)
причем, как известно, система (20.14) полна в Ь₂(а, Ь). Анало­гично, система
, . . тп (х,—а) . пл (х₂ — с) . _{п п}
y_mn(x) = sm -£±_а sin ^K_d__c т= 1,2, ... ,п = 1,2, ...,
(20.16)
удовлетворяющая нулевым граничным условиям на границе пря­моугольника G = (a, b)x(c, d), полна в L₂(G). (В частности, фун­кции ф_т„ (х) = sin тх₁ • sin пх₂ удовлетворяют нулевым граничным условиям на границе квадрата (0, л)х(0, л).)
Подобные утверждения справедливы и в случае брусов в N- мерном пространстве (при /V > 2).
Остается выяснить, могут ли эти системы использоваться как полные в пространствах Н _А.
Мы приводим здесь без доказательства (доказательство можно найти, например, в [28]) следующую теорему.
Теерема 20.1. Пусть (как обычно) А—положительно опреде­ленный оператор на линеале D_A, плотном в гильбертовом прост­ранстве Н. Если последовательность
Лф„ Лф₂, ..., Лф„, ... (ф_х, ф₂, ... € D_a) (20.17) полна в Н, то последовательность
Ф_х, ф₂, ..., ф„, ... (20.18)
полна в Н_А.
Таким образом, легко получить, что в случае задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике G = (a, b)x(c, d),
—Аи = / в G, (20.19)
и = 0 на Г, (20.20)
система (20.16) полна в соответствующем пространстве И_А. Как будет показано в гл. 22, оператор А = — А на линеале D_A (плот­ном в L₂(G)) функций, принадлежащих С² (G) и удовлетворяющих условиям (20.20), положительно определен на этом множестве. Очевидно, что все функции (20.16) принадлежат D_A, далее,
А,о д_ш ( ^mV , ”^2?l2 \ п_п«гс(*1-а) . /ст(*,-с)
^ЛФтп ^АЧ_тл \(6 —a)^{2 +} (d — c)² J b — a d — c ’
так что функции Лф_тп отличаются от ф_т„ только (ненулевым) постоянным множителем и образуют в L₂ (G) полную систему, так как система функций ф_тл полна. Согласно теореме 20.1, ср_тп со­ставляют полную систему и в Н_А. Более того, эти функции орто­гональны в Н_А и, значит, линейно независимы, так что они обра­зуют базис в этом пространстве.
Это же справедливо и в общем Af-мерном случае. В частности, при N=1 функции (20.14) образуют базис для задачи

• 
  ы' = /, (20.21)
  

и(а) = 0, и(Ь) = 0. (20.22)
Другая возможность удовлетворить однородным нулевым гра­ничным условиям, используя на этот раз полноту системы поли­номов, заключается в следующем (для простоты рассмотрим слу­

1^х) Заметим, что для некоторых методов, например метода наименьших квадратов, соотношение (20.11) является прямым следствием метода.

2) Напомним (см. гл. 4), что L₂ (G) является сепарабельным: одно из счетных множеств, плотных в метрике этого пространства, образовано поли­

3номами (от N переменных) с рациональными коэффициентами Заметим, что это множество плотно во всех пространствах, встречающихся в книге (т. е. и в Яд, ив пространствах Wi^k) (G), которые будут введены в ч. IV). Таким об­разом, все эти пространства сепарабельны, что везде в дальнейшем будет ис­пользоваться.

8*