2 nd Reading June 18, 2014 14: 51 wspc/246-aejm 1450030 Asian-European Journal of Mathematics Vol. 7, No. 2 (2014) 1450030 ( 9 pages) c
World Scientific Publishing Company doi: 10

2

nd

 

Reading

June 18, 2014

14:51

WSPC/246-AEJM

1450030

Asian-European Journal of Mathematics

Vol. 7, No. 2 (2014) 1450030 (

9

pages)

c


 World Scientific Publishing Company

DOI:

10.1142/S1793557114500302

On a nonlocal problem for mixed parabolic–hyperbolic type

equation with nonsmooth line of type changing

E. T. Karimov

Institute of Mathematics

National University of Uzbekistan named after Ulugbek

Tashkent, Uzbekistan

[e-mail]

N. A. Rakhmatullaeva

Tashkent State Technical University named after A. R. Beruni

Tashkent, Uzbekistan

[e-mail]

Communicated by M. O. Perestyuk

Received July 18, 2013

Accepted March 12, 2014

Published June 16, 2014

In this paper, we investigate a boundary problem with nonlocal conditions for mixed

parabolic–hyperbolic type equation with three lines of type changing. Considered domain

contains a rectangle as a parabolic part and three domains bounded by smooth curves

and type-changing lines as a hyperbolic part of the mixed domain. Applying method of

energy integrals we prove the uniqueness of the solution for the considered problem. The

proof of the existence will be done by reducing the original problem into the system of

the second kind Volterra integral equations.

Keywords: Parabolic–hyperbolic equation; Volterra integral equation; nonlocal boundary

problem; Green’s function.

AMS Subject Classification: 35M10

1. Introduction

Theory of mixed type equations is one of the main parts of the general theory of

partial differential equations. First, fundamental works on this theory were done

by Tricomi [

24

], Gellerstedt [

8

], Frankl [

7

], Morawetz [

13

], Protter [

15

], Lavrent’ev

and Bitsadze [

12

], and etc.

Due to many applications in gas and aerodynamics, mechanics, this direction

was very rapidly developed [

17

]. Nowadays, this theory has many branches due to

the usage of various methods of mathematical and functional analysis, topological

methods and the method of Fractional Calculus [

9

,

16

,

25

].

1450030-1

2

nd

 

Reading

June 18, 2014

14:51

WSPC/246-AEJM

1450030

E. T. Karimov

& N. A. Rakhmatullaeva

Omitting huge amount of works, related to the study of mixed type equations, we

only note some recent works on local and nonlocal boundary problems for parabolic–

hyperbolic equations [

1

–

3

,

10

,

22

].

Regarding the investigations of mixed parabolic–hyperbolic equations with

nonsmooth lines of type changing we note works [

4

,

6

,

11

,

14

,

23

].

In this paper, we study nonlocal problem for parabolic–hyperbolic equation with

three lines of type changing in a special mixed domain, hyperbolic parts of which

bounded by smooth curves and type-changing lines. Under the certain assumptions

on these curves, we find conditions to parameters, participated in nonlocal condi-

tions and we require definite regularity from the given function f (x, y) in order to

prove the unique solvability of the stated problem.

2. Formulation of a Problem

Consider an equation

Lu = f (x, y)

(1)

in a domain Ω = Ω

0

∪ Ω

i

∪ AB ∪ BC ∪ AD, where

Lu =

u

xx

− u

y

,

(x, y)

∈ Ω

0

,

u

xx

− u

yy

,

(x, y)

∈ Ω

i

(i = 1, 3).

Smooth curves γ

1

: y =

−γ

1

(x), γ

1

(0) = γ

1

(1) = 0, γ

2

: x =

−γ

2

(y), γ

2

(0) =

γ

2

(1) = 0, γ

3

: x = γ

3

(y), γ

3

(0) = γ

3

(1) = 1 are located inside of the appropriate

characteristic triangles. Moreover, regarding the curves γ

i

(t) (i = 1, 3) we suppose

that they are twice continuously differentiable and t

± γ

i

(t) (0

≤ t ≤ 1, i = 1, 3) are

monotonically increase.

We formulate the following problem for Eq. (1).

Fig. 1.

Domain Ω.

1450030-2

2

nd

 

Reading

June 18, 2014

14:51

WSPC/246-AEJM

1450030

On a nonlocal problem for mixed parabolic–hyperbolic type equation

Problem. To find a regular solution of Eq. (1), satisfying conditions

[u

x

− u

y

](θ

1

(t)) = σ

1

[u

x

+ u

y

](θ

∗

1

(t)),

0

≤ t ≤ 1,

(2)

[u

x

− u

y

](θ

2

(t)) = σ

2

[u

x

+ u

y

](θ

∗

2

(t)),

0

≤ t ≤ 1,

(3)

[u

x

+ u

y

](θ

3

(t)) = σ

3

[u

x

− u

y

](θ

∗

3

(t)),

0

≤ t ≤ 1,

(4)

u(A) = u(B) = 0.

(5)

Here σ

1

, σ

2

, σ

3

are arbitrary real numbers, θ

1

(t), θ

2

(t), θ

3

(t)[θ

∗

1

(t), θ

∗

2

(t), θ

∗

3

(t)] are

affixes of points of intersection of the curves γ

i

(t) (i = 1, 3) and characteristics

x

− y = t, y − x = t, x + y = 1 + t [x + y = t, x − y = t, y − x = 1 + t]

of Eq. (1), respectively.

We mean as a regular solution of the problem in the domain Ω function u(x, y)

∈

W =

{u : u(x, y) ∈ C(Ω) ∩ C

1

(Ω)

∩ C

2,1

x,y

(Ω

0

)

∩ C

2

(Ω

i

), i = 1, 3

}, satisfying Eq. (1)

in domains Ω

j

(j = 0, 3).

3. Main Result

Theorem. If conditions σ

2

, σ

3

∈ [−1, 1], f(x, y) ∈ C

1

(Ω) are fulfilled, then the

problem has unique regular solution.

Proof. First, we deduce main functional relations.

Solution of the problem in Ω

i

(i = 1, 3) can be represented by the D’Alembert’s

formula [

18

]:

u(ξ, η) =

1

2



τ

−

1

(ξ) + τ

−

1

(η)

−



η

ξ

ν

−

1

(t)dt



−



η

ξ

dξ

1



η

ξ

1

f

1

(ξ

1

, η

1

) dη

1

,

(6)

u(ξ, η) =

1

2



τ

−

2

(ξ) + τ

−

2

(

−η) −



−η

ξ

ν

−

2

(t)dt



−



−η

ξ

dξ

1



−η

ξ

1

f

1

(ξ

1

, η

1

) dη

1

,

(7)

u(ξ, η) =

1

2



τ

+

3

(ξ

− 1) + τ

+

3

(1

− η) −



1−η

ξ−1

ν

+

3

(t)dt



−



1−η

ξ−1

dξ

1



1−η

ξ

1

f

1

(ξ

1

, η

1

) dη

1

,

(8)

where ξ = x + y, η = x

− y, 4f

1

(ξ, η) = f (

ξ+η

2

,

ξ−η

2

), τ

±

1

(x) = u(x,

±0), τ

±

2

(y) =

u(

±0, y), τ

±

3

(1

± 0, y), ν

±

1

(y) = u

y

(x,

±0), ν

±

2

(y) = u

x

(

±0, y), ν

±

3

(y) = u

x

(1

± 0, y).

By virtue of conditions to γ

i

(i = 1, 3), equation of the curve represented as

ξ = ρ(η) and η = υ(ξ) such that ρ(υ(ξ)) = ξ.

1450030-3

2

nd

 

Reading

June 18, 2014

14:51

WSPC/246-AEJM

1450030

E. T. Karimov

& N. A. Rakhmatullaeva

Since

θ

1



x

− γ

1

(x) + t

2

;

x

− γ

1

(x)

− t

2



;

θ

∗

1



x + γ

1

(x) + t

2

;

−

x + γ

1

(x) + t

2



;

θ

2



y

− γ

2

(y)

− t

2

;

y

− γ

2

(y) + t

2



;

θ

∗

2



−

y + γ

2

(y)

− t

2

;

y + γ

2

(y) + t

2



;

θ

3



−

y + γ

3

(y)

− 1 − t

2

;

y + γ

3

(y) + 1 + t

2



;

θ

∗

3



y

− γ

3

(y) + 1

− t

2

;

y

− γ

3

(y)

− 1 + t

2



,

from (2) and (6), (3) and (7), (4) and (8), we deduce main functional relations on

the line of type changing of Eq. (1), respectively:

(1

− σ

1

)τ

−

1



(x)

− (1 + σ

1

)ν

−

1

(x) = A

1

(x),

0 < x < 1,

(9)

(1 + σ

2

)τ

−

2



(y) + (

−1 + σ

2

)ν

−

2

(y) = A

2

(y),

0 < y < 1,

(10)

(1 + σ

3

)τ

+

3



(y) + (

−1 + σ

3

)ν

+

3

(y) = A

3

(y),

0 < y < 1,

(11)

where

A

1

(x) = 2σ

1



υ(x)

x

f

1

(x; η

1

)dη

1

+ 2



x

ρ(x)

f

1

(ξ

1

; x)dξ

1

,

A

2

(y) =

−2σ

2



υ(y)

y

f

1

(x; η

1

)dη

1

+ 2



y

ρ(y)

f

1

(ξ

1

; x)dξ

1

,

A

3

(y) = 2σ

3



υ(y)

y

f

1

(x; η

1

)dη

1

− 2



y

ρ(y)

f

1

(ξ

1

; x)dξ

1

.

3.1.

The uniqueness of the solution

In case, when

|σ

i

| = 1 by formulas (9)–(11) we can find τ

±

i



(t) or ν

±

i

(t) (i = 1, 3),

therefore the problem will be divided into four problems, which can be solved

directly.

Consider the case, when

|σ

i

| = 1.

In order to prove the uniqueness we use well-known method called as “abc-

method” [

18

]. We note that using this method Rassias and Karimov proved the

uniqueness theorem for parabolic equations with two [

20

] and three [

21

] lines of

degeneration. In the work by Rassias [

19

] bi-parabolic elliptic bi-hyperbolic Tricomi

problem has been studied by similar method.

We multiply equation u

xx

− u

y

= 0 by the function u(x, y) and rewrite it as

(u

· u

x

)

x

− u

2

x

−

1

2

(u

2

)

y

= 0.

1450030-4

2

nd

 

Reading

June 18, 2014

14:51

WSPC/246-AEJM

1450030

On a nonlocal problem for mixed parabolic–hyperbolic type equation

Integrating this equality along the domain Ω

ε

0

=

{(x, y) : ε < x < 1 − ε, ε < y <

1

− ε, ε > 0} we obtain



Ω

ε

0



(u

· u

x

)

x

− u

2

x

−

1

2

(u

2

)

y



dxdy = 0.

Using Green’s formula [

18

] we deduce



A

ε

B

ε

1

2

u

2

(x, +0)dx +



B

ε

C

ε

u(1

− 0, y)u

x

(1

− 0, y)dy +



C

ε

D

ε

1

2

u

2

(x, 1

− 0)dx

+



D

ε

A

ε

u(+0, y)u

x

(+0, y)dy

−



Ω

ε

0

u

2

x

dxdy = 0.

Finally, we pass to the limit as ε

→ 0 and considering introduced notations, in the

domain Ω

0

we have the following equality



Ω

0

u

2

x

(x, y)dxdy +



1

0

τ

+

2

(y)ν

+

2

(y)dy

−



1

0

τ

−

3

(y)ν

−

3

(y)dy

+

1

2



1

0

u

2

(x, 1)dx

−

1

2



1

0

[τ

+

1

(x)]

2

dx = 0.

(12)

In order to prove the uniqueness, first we prove that u(x,

±0) = τ

1

±

(x) = 0.

Equation u

xx

− u

y

= 0 can be reduced to τ

+

1



(x) = ν

+

1

(x) and substituting it into

the integral I

1

=



1

0

τ

+

1

(x)ν

+

1

(x)dx, taking condition (5) into account we have

I

1

=



1

0

τ

+

1

(x)τ

+

1



(x)dx =

−



1

0

((τ

+

1

(x))



)

2

dx.

(13)

Now considering (9) we obtain

I

1

=

1

− σ

1

1 + σ

1



1

0

τ

+

1

(x)τ

+

1



(x)dx =

1

− σ

1

2(1 + σ

1

)

(τ

+

1

(x))

2





1

0

= 0.

(14)

From (13) and (14) it follows that τ

±

1

(x)

≡ 0.

Now we prove that

I

2

=



1

0

τ

+

2

(y)ν

+

2

(y)dy

≥ 0, I

3

=



1

0

τ

+

3

(y)ν

+

3

(y)dy

≤ 0.

Taking (10) and (11) into account we get respectively the following:

I

2

=



1

0

τ

+

2

(y)ν

+

2

(y)dy =

1 + σ

2

1

− σ

2



1

0

τ

+

2

(y)τ

+

2



(y)dy =

1 + σ

2

2(1

− σ

2

)

τ

+

2

2

(1),

I

3

=



1

0

τ

+

3

(y)ν

+

3

(y)dy =

1 + σ

3

1

− σ

3



1

0

τ

−

3

(y)τ

−

3



(y)dy =

−

1 + σ

3

2(1

− σ

3

)

τ

−

3

2

(1).

If

1+σ

2

1−σ

2

> 0,

1+σ

3

1−σ

3

> 0, then I

2

≥ 0, I

3

≤ 0.

Considering that I

2

≥ 0, I

3

≤ 0 and τ

+

1

= 0 from the equality (12) we state that

u(x, y) = 0 in Ω

0

. Since u(x, y)

∈ C(Ω), we can conclude, u(x, y) = 0 in Ω.

1450030-5

2

nd

 

Reading

June 18, 2014

14:51

WSPC/246-AEJM

1450030

E. T. Karimov

& N. A. Rakhmatullaeva

3.2.

The existence of the solution

Now we prove the existence of the solution for the problem.

We pass to the limit in Ω

0

at y

→ +0 and from the equation u

xx

− u

y

= f (x, y),

considering (9), we get

τ

+

1



(x)

−

1

− σ

1

1 + σ

1

τ

+

1



(x) = f

∗

(x),

(15)

where f

∗

(x) = f (x, 0)

−

1

1+σ

1

A

1

(x). From the condition (5) we have

τ

+

1

(0) = 0,

τ

+

1

(1) = 0.

(16)

Solution of Eq. (15) together with conditions (16) can be represented as [

5

]

τ

+

1

(x) =

1 + σ

1

1

− σ

1

×



x

0

(e

1−σ1

1+σ1

(x−t)

− 1)f

∗

(t)dt

−

e

1−σ1

1+σ1

x

− 1

e

1−σ1

1+σ1

− 1



1

0

(e

1−σ1

1+σ1

(1−t)

− 1)f

∗

(t)dt

.

Solution of the first boundary problem for Eq. (1) in the domain Ω

0

has the

form [

5

]

u(x, y) =



1

0

τ

+

1

(x

1

)G(x, y; x

1

, 0)dx

1

+



y

0

τ

+

2

(y

1

)G

x

1

(x, y; 0, y

1

)dy

1

−



y

0

τ

−

3

(y

1

)G

x

1

(x, y; 1, y

1

)dy

1

−



1

0

dx

1



y

0

f (x

1

, y

1

)G(x, y; x

1

, y

1

)dy

1

,

(17)

where

G(x, y; x

1

, y

1

) =

1

2

π(y

− y

1

)

∞

n=−∞

[e

−

(x−x1+2n)2

4(y−y1 )

− e

−

(x+x1+2n)2

4(y−y1 )

]

is the Green’s function of the first boundary problem for the heat equation.

Differentiating (17) once by x we have

u

x

(x, y) =



1

0

τ

+

1

(x

1

)G

x

(x, y; x

1

, 0)dx

1

+



y

0

τ

+

2

(y

1

)G

x

1

x

(x, y; 0, y

1

)dy

1

−



y

0

τ

−

3

(y

1

)G

x

1

x

(x, y; 1, y

1

)dy

1

−



1

0

dx

1



y

0

f (x

1

, y

1

)G

x

(x, y; x

1

, y

1

)dy

1

.

Considering

G

x

1

x

(x, y; x

1

, y

1

) = N

y

1

(x, y; x

1

, y

1

),

G

x

(x, y; x

1

, y

1

) =

−N

x

1

(x, y; x

1

, y

1

)

1450030-6

2

nd

 

Reading

June 18, 2014

14:51

WSPC/246-AEJM

1450030

On a nonlocal problem for mixed parabolic–hyperbolic type equation

we obtain

u

x

(x, y) =

−



1

0

τ

+

1

(x

1

)N

x

1

(x, y; x

1

, 0)dx

1

+



y

0

τ

+

2

(y

1

)N

y

1

(x, y; 0, y

1

)dy

1

−



y

0

τ

−

3

(y

1

)N

y

1

(x, y; 1, y

1

)dy

1

+



1

0

dx

1



y

0

f (x

1

, y

1

)N

x

1

(x, y; x

1

, y

1

)dy

1

,

(18)

where

N (x, y; x

1

, y

1

) =

1

2

π(y

− y

1

)

∞

n=−∞

[e

−

(x−x1+2n)2

4(y−y1)

+ e

−

(x+x1+2n)2

4(y−y1 )

].

(19)

In (18), we use formula of integration by parts and taking (16), (19) into account,

one can find that

u

x

(x, y) =

−



1

0

(τ

+

1

(x

1

))



N (x, y; x

1

, 0)dx

1

−



y

0

(τ

+

2

(y

1

))



N (x, y; 0, y

1

)dy

1

+



y

0

(τ

−

3

(y

1

))



N (x, y; 1, y

1

)dy

1

+



y

0

f (1, y

1

)N (x, y; 1, y

1

)dy

1

−



y

0

f (0, y

1

)N (x, y; 0, y

1

)dy

1

−



1

0

dx

1



y

0

df (x

1

, y

1

)

dx

1

N (x, y; x

1

, y

1

)dy

1

.

(20)

Passing to the limit as x

→ +0 and x → 1−0, according to the notation u

x

(+0, y) =

ν

+

2

(y), u

x

(1

− 0, y) = ν

−

3

(y), and considering (10), (11) we obtain the following:

1 + σ

2

−1 + σ

2

τ

+

2



(y) +



y

0

τ

+

2



(y

1

)N (0, y; 0, y

1

)dy

1

−



y

0

τ

−

3



(y

1

)N (0, y; 1, y

1

)dy

1

= E

1

(y),

(21)

1 + σ

3

−1 + σ

3

τ

−

3



(y)

−



y

0

τ

−

3



(y

1

)N (1, y; 1, y

1

)dy

1

+



y

0

τ

+

2



(y

1

)N (1, y; 0, y

1

)dy

1

= E

2

(y),

(22)

where

E

1

(y) =

−



y

0

[f (1, y

1

)N (0, y; 1, y

1

)

− f(0, y

1

)N (0, y; 0, y

1

)]dy

1

+

A

2

(y)

−1 + σ

2

+



1

0

τ

+

1



(x

1

)N (0, y; x

1

, 0)dx

1

+



1

0

dx

1



y

0

df (x

1

, y

1

)

dx

1

N (0, y; x

1

, y

1

)dy

1

,

1450030-7

2

nd

 

Reading

June 18, 2014

14:51

WSPC/246-AEJM

1450030

E. T. Karimov

& N. A. Rakhmatullaeva

E

2

(y) =

−



y

0

[f (1, y

1

)N (1, y; 1, y

1

)

− f(0, y

1

)N (1, y; 0, y

1

)]dy

1

+

A

3

(y)

−1 + σ

3

+



1

0

τ

+

1



(x

1

)N (1, y; x

1

, 0)dx

1

+



1

0

dx

1



y

0

df (x

1

, y

1

)

dx

1

N (1, y; x

1

, y

1

)dy

1

.

Since (21) is the second kind Volterra integral equation regarding the function

τ

+

2



(y), we can formally write its solution via resolvent kernel. Substituting the

found solution τ

+

2



(y) into (22), we will get second kind Volterra integral equation

regarding the function τ

−

3



(y), which is uniquely solvable due to continuity of the

kernel and continuous differentiability of the right-hand side of the integral equation.

After the finding of functions τ

±

i

(t)(i = 1, 3), we find unknown functions ν

±

i

(t)(i =

1, 3) by formulas (9)–(11).

Since we have all functions required to write solution of the problem, it can be

represented in the domain Ω

0

by the formula (17) and in domains Ω

i

(i = 1, 3) by

formulas (6)–(8), respectively.

Theorem is proved.

4. Open Problems

(1) If we replace parabolic part of the mixed equation with fractional case, i.e.

u

xx

−

C

D

α

0y

u, the solvability question of the problem is open. Here

C

D

α

0y

g =

1

Γ(1

− α)



y

0

(y

− t)

−α

g



(t)dt

is the Caputo fractional differential operator of the order α (0 < α < 1) [

16

].

(2) Consideration of nonlocal conditions, used in [

11

] instead of conditions (2)–(4) is

as well interesting, but one need to find certain nonlocal conditions, connecting

some part of one curve with part of another curve. Successful formulation could

generalize several local problems.

Acknowledgments

Authors would like to thank Professor A. S. Berdyshev for his useful remarks and

anonymous referees for their valuable suggestions, which made paper more readable.

References

1. A. Ashyralyev and H. A. Yutsever, On difference schemes for hyperbolic–parabolic

equations, in Proc. Int. Conf. “Dynamical Systems and Applications”, Antalya,

Turkey, July 5–10, 2004, pp. 136–153.

2. A. S. Berdyshev, Basis property of the system of radical functions of the non-local

boundary-value problem for the parabolic–hyperbolic equation, Dokl. Akad. Nauk.

366(1) (1999) 7–9.

3. A. S. Berdyshev and E. T. Karimov, Some non-local problems for the parabolic–

hyperbolic type equation with non-characteristic line of changing type, Cent. Eur. J.

Math.

4(2) (2006) 183–193.

1450030-8

2

nd

 

Reading

June 18, 2014

14:51

WSPC/246-AEJM

1450030

On a nonlocal problem for mixed parabolic–hyperbolic type equation

4. A. S. Berdyshev and N. A. Rakhmatullaeva, Non-local problems for parabolic–

hyperbolic equations with deviation from the characteristics and three type-changing

lines, Electron. J. Differential Equations

2011(7) (2011) 1–6.

5. T. D. Djuraev, A. Sopuev and M. Mamajonov, Boundary-Value Problems for the

Parabolic–Hyperbolic Type Equations (Fan, Tashkent, 1986).

6. V. A. Eleev and V. N. Lesev, On two boundary problems for mixed type equations

with perpendicular lines of type changing, Vladikavkaz Math. J.

3(4) (2001) 9–22.

7. F. I. Frankl, Selected Works on Gas Dynamics (Nauka, Moscow, 1973), 711 pp.

8. S. Gellerstedt, Sur un probleme aux limits pour une equation liniare aux derivees du

second orde de type mixte, Dissertation, Uppsala University (1935).

9. S. Huang, Y. Y. Qiao and G. C. Wen, Real and Complex Clifford Analysis, Advances

in Complex Analysis and its Applications, Vol. 5 (Springer, New York, 2006).

10. E. T. Karimov, Some non-local problems for the parabolic–hyperbolic type equation

with complex spectral parameter, Math. Nachr.

281(7) (2008) 959–970.

11. E. T. Karimov and A. I. Sotvoldiyev, Existence of solutions to non-local problems

for parabolic–hyperbolic equations with three lines of type changing, Electron. J.

Differential Equations

2013(138) (2013) 1–5.

12. M. A. Lavrent’ev and A. V. Bitsadze, To the problem of mixed type equations, Dokl.

Akad. Nauk SSSR

70(3) (1950) 373–376.

13. C. Z. Morawetz, A weak solution for a system of equations of elliptic–hyperbolic type,

Comm. Pure Appl. Math.

11 (1958) 315–331.

14. V. A. Nakhusheva, First boundary problem for mixed type equation in a characteristic

polygon, Dokl. AMAN

14(1) (2012) 58–65.

15. M. H. Protter, New boundary value problems for the wave equation and equations of

mixed type, J. Ration. Mech. Anal.

3 (1954) 435–446.

16. A. V. Pskhu, Uravneniya v Chastnykh Proizvodnykh Drobnogo Poryadka [Partial dif-

ferential equations of fractional order] (Nauka, Moscow, 2005), 200 pp (in Russian).

17. J. M. Rassias, Mixed type partial differential equations in R

n

, Ph.D. thesis, University

of California, Berkeley, USA (1977).

18. J. M. Rassias, Lecture Notes on Mixed Type Partial Differential Equations (World

Scientific, Singapore, 1990).

19. J. M. Rassias, Uniqueness of quasi-regular solutions for a bi-parabolic elliptic bi-

hyperbolic tricomi problem, Complex Variables and Elliptic Equations

47(8) (2002)

707–718.

20. J. M. Rassias and E. T. Karimov, Boundary-value problems with nonlocal initial

condition for parabolic equations with parameter, European J. Pure Appl. Math.

3(6)

(2010) 948–957.

21. J. M. Rassias and E. T. Karimov, Boundary-value problems with nonlocal condition

for degenerate parabolic equations, Contemp. Anal. Appl. Math.

1(1) (2013) 42–48.

22. K. B. Sabytov, To the theory of mixed parabolic–hyperbolic type equations with a

spectral parameter, Differ. Uravn.

25(1) (1989) 117–126.

23. G. D. Tojzhanova and M. A. Sadybekov, About spectral properties of one analogue

of the Tricomi problem for the mixed parabolic–hyperbolic type equation, Izv. Akad.

Nauk Kaz. SSR Ser. Fiz.-Mat.

3 (1989) 48–52.

24. F. G. Tricomi, Sulle Equazioni Lineari alle derivate Parziali di 2? Ordine, di Tipo

Misto, Atti Accad. Naz. Lincei.

14(5) (1923) 133–247.

25. G. C. Wen, The mixed boundary-value problem for second order elliptic equations

with degenerate curve on the sides of an angle, Math. Nachr.

279 (13–14) (2006)

1602–1613.

1450030-9