2-Mavzu: Муносабатлар. Бинар муносабат

2-таъриф. Агарда бирор тўпламдаги муносабат рефлексив, симметрик ва транзитив хоссаларга эга бўлса, у вақтда бундай муносабатга шу тўпламдаги эквивалентлик муносабати дейилади.
Агарда муносабати тўпламдаги эквивалентлик муносабати бўлса, у вақтда .
Мисоллар. Қуйидаги ҳар бир муносабат маълум тўпламдаги эквивалетлик муносабатига мисол бўла олади:
1.Исталган тўпламдаги тенглик муносабати.
2.Евклид текислигининг ҳамма учбурчаклар тўпламидаги ўхшашлик муносабати.
3.Бутун сонлар тўпламидаги модули бўйича таққослама муносабати.
4.Ўзбекистонда яшовчи одамлар тўпламидаги “бир уйда яшовчилар” муносабати.
Эквивалентлик муносабати шундай асосий хусусиятга эгаки, у тўпламни кесишмайдиган қисм тўпламларга бўлади. Кейинги мисолга, масалан, “бир уйда яшовчилар” муносабати Ўзбекистонни бир-бири билан кесишмайдиган “бир уйда яшовчилар” қисм тўпламларига бўлади. Бу айтилганларни қуйидагича умумлаштириш мумкин.
тўпламдаги эквивалентлик муносабати бўлсин. У вақтда тўпламининг қисм тўплами фақат шундагина эквивалентлик синфи ёки эквивалентлик - синфи деб айтилади, қачонки тўпламининг шундай элементи топилиб, бўлса.
Шундай қилиб, тўпламнинг шундай элементи мавжуд бўлсаки, тенглик бажарилса, у вақтда тўплам эквивалентлик синфи бўла олади.
Агарда муносабати тўђрисида ҳеч қандай англашмовчилик туђилмайдиган бўлса, у вақтда тўплами шаклида белгиланади, яъни ва юзага келтирган эквивалентлик синфи деб айтилади.
Эквивалентлик синфи қуйидаги икки хусусиятга эгадир:
1. - бир синфнинг ҳамма элементлари ўзаро эквивалентдир.
2. Агар бўлса, у вақтда .
1-хосса эквивалентлик муносабатининг рефлексивлик хусусиятидан келиб чиқади.
2-хоссанинг исботи: бўлсин, яъни га эквивалент бўлсин, у вақтда . Ҳақиқатан ҳам, ( ни билдиради) дан ва бўлганлиги учун муносабатининг транзитив хусусиятига асосан келиб чиқади, яъни . Эквивалентлик муносабатининг симметриклик хоссасидан фойдаланиб, ни исбот этиш мумкин. Демак, .