2-Mavzu: Matritsalar va ular ustida amallar, teskari matritsa yordamida chiziqli tenglamalar sistemasini echish

2-Mavzu: Matritsalar va ular ustida amallar, teskari matritsa yordamida chiziqli tenglamalar sistemasini echish.

Reja:

1. 
   Matritsa tushunchasi va birlik matritsa
   
2. 
   Matritsa ustida amallar
   
3. 
   Teskari matritsa
   

Tayanch iboralar: Matritsa, birlik matritsa, Teskari matritsa, minor, determinant.
Adabiyotlar : [ A:1, 3. Q: 1, 6, 7, 9 ]
Ko‘p hollarda amaliy masalalarni hal etishda maxsus matematik ifodalardan foydalaniladi. Bunday matematik ifodalardan biri matritsalardir.
ta yo‘l va ta ustun da joylashgan sonlardan tuzilgan ushbu

to‘rtburchak shakldagi jadval o‘lchovli matritsa deyiladi. Odatda matritsalar katta harflar A, B, C,… bilan belgilanadi . Masalan,
1. matritsa, chunki u 2 ta satr va 3 ta ustunga ega.
2. matritsa, chunki u 4 ta satr va 2 ta ustunga ega.
A matritsaning elementlari 2, 0, 1, 33, -22, va 0 lardan iborat. B matritsaning elementlari 2, 3, 10, 44, -1, 3, 8 va 3 lardan iborat.
Matritsani tashkil etgan sonlar uning elementlari deyiladi. Matritsaning elementlari ikki indeks bilan yozilib, birinchi indeks shu element turgan yo‘lni, ikkinchi indeks esa ustunni bildiradi.
Agar matritsa bitta ustundan iborat bo‘lsa,

u ustun matritsa, bitta yo‘ldan iborat bo‘lsa,
u yo‘l matritsa deyiladi.
Agar matritsaning barcha elementlari nolga teng bo‘lsa,

u nol matritsa deyiladi.
Agar matritsaning yo‘llar soni ustunlar soniga teng, ya’ni bo‘lsa,
( 1 )
u - tartibli kvadrat matritsa deyiladi. Bu matritsada elementlar bosh diagonal elementlar deyiladi.
Agar ( 1 ) matritsada bosh diagonal elementlardan boshqa barcha elementlar nol bo‘lsa,

u diagonal matritsa deyiladi. Xususan bu matritsada bo‘lsa,

u birlik matritsa deyiladi.
_A va bir hil o‘lchovli matritsalar bo‘lsin. Agar va matritslarning mos elementlari teng bo‘lsa, va teng deyiladi va kabi yoziladi. va matritsalarning mos elementlarining yig‘indisidan tashkil topgan matritsa va matritsalar yig‘indisi deyiladi va kabi yoziladi.

va matritsalarning mos elementlarining ayirmasidan tashkil topgan matritsa va matritsalar ayirmasi deyiladi va kabi yoziladi.
Masalan, [1, 184-bet]
1. 2.
3.
Aytaylik, matritsa hamda son berilgan bo‘lsin. Bu matritsaning har bir elementini songa ko‘paytirishdan hosil bo‘lgan matritsa son bilan matritsa ko‘paytmasi deyiladi va kabi belgilanadi :
.
Masalan, .
Ikki va matritsalarning ko‘paytmasi tushunchasi birinchi matritsaning ustunlar soni ikkinchi matritsaning yo‘llar soniga teng bo‘lgandagina kiritiladi.
Aytaylik, o‘lchovli

matritsa hamda o‘lchovli

matritsalar berilgan bo‘lsin.
matritsaning - yo‘lda joylashgan

elementlarini mos ravishda matritsaning - ustunida joylashgan.

ko‘paytirib

yig‘indini hosil qilamiz. Bu sonlardan tuzilgan ushbu

o‘lchovli matritsa va matritsalar ko‘paytmasi deyiladi va kabi belgilanadi.
Agar

o‘lchovli kvadrat matritsa bo‘lib,

o‘lchovli birlik matritsa bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.
Matritsada yo‘l va ustunlar o‘rinlarini almashtirish transponirlash deyiladi va  ko”rinishda belgilanishi mumkin. Agar mxn o‘lchovli bo‘lsa,  nxm o‘lchovli bo‘ladi .
Misol.  , 
Transponirlash quyidagi xossalarga ega:

Ikki nxn o‘lchamli A , V kvadrat matritsalar uchun  bo‘lsa, V matritsa A matritsaga teskari deyiladi va  ko‘rinishida belgilanadi.
Dastlab,  matritsa teskari  matritsani topamiz.  shartga ko‘ra,  Demak,  , 
Bu sistemalarni echib,  , y= , z= , u= , ekanligini topamiz. Bunda,  lar esa  algebraik to‘ldiruvchilari.  matritsaga teskari matritsa  ko‘rinishida bo‘lar ekan.
Misol. 1). A ga teskari matrissa toping.
 ekanligidan teskari matritsa mavjud va yagona.
 ,  bo‘lganligi uchun

2).  ga teskari matritsa toping.

 ,  ,  , 
 ,  ,  , 
 ,  ,  , 
 ,  ,  , 
Demak ,  .