2-ma’ruza. Xarakteristik forma. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differenial tenglamalarning klassifikatsiyasi va kanonik ko`rinishi

Ta’rif: (2.5) tenglama (1.3) tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.

Ta’rif: (2.5) tenglamaning integrallari esa (1.3) tenglamaning xarakteristikalari deyiladi.

Faraz qilamiz, , bu yerda (2.5) tenglamaning umumiy integrali. Biz oldidagi koeffitsientni nolga aylantiramiz. Agar (2.5) tenglamaning boshqa umumiy integralini ifodalasa va ga bog‘liq bo‘lmasa, biz deb olsak, oldidagi koeffitsientni nolga aylantiramiz.

(2.5) tenglama quyidagi ikkita tenglamaga ajraladi:

(2.8)

(2.9)

Ildiz ostidagi ifodaning ishorasi

(1.3)

tenglamaning tipini aniqlaydi.

Agar nuqtada bo‘lsa, (1.3) tenglama giperbolik tipga qarashli, agar nuqtada bo‘lsa, berilgan (1.3) tenglama elliptik tipga qarashli, agar nuqtada bo‘lsa, parabolik tipga qarashli deyiladi.

Quyidagi tenglik sohaning barcha nuqtalarida o‘rinli bo‘ladi, ya’ni

,

Bundan o‘zgaruvchilar almashtirilganda ham tenglama tipining invariantligi saqlanishi ko‘rinib turibti, chunki - yakobian noldan farqli.

Barcha nuqtalarida tenglama bir xil tipga tegishli bo‘lgan sohani qaraymiz. sohaning har bir nuqtasidan ikkita xarakteristika o‘tadi, aynan, giperbolik tipdagi tenglamalar uchun ikkita haqiqiy va o‘zaro farqli xarakteristikalar elliptik tenglamalar uchun esa ikkita kompleks va o‘zaro farqli xarakteristikalar, parabolik turdagi tenglamar uchun esa, ikkita haqiqiy va o‘zaro ustma-ust tushadigan xarakteristikalar o‘tadi.

Bu hollarning har birini alohida-alohida qaraymiz.

1. 
   Giperbolik turdagi tenglamalar uchun va (2.8) va (2.9) tenglamalarning o‘ng tomoni haqiqiy va o‘zaro farqli. Bu tenglamalarning umumiy yechimlari va bo‘lib, haqiqiy xarakteristikalar oilasiga ega bo‘ladi. Faraz qilamiz, , . U vaqtda (2.3) tenglamani oldidagi koeffitsientga bo‘lib, ushbu ko‘rinishga keltiramiz:
   (2.10)
   bu yerda .
   

(2.5) tenglamaning (2.10) ko‘rinishi giperbolik turdagi tenglamaning kanonik ko‘rinishi deyiladi.

Ko‘pincha giperbolik turdagi tenglamalarning ikkinchi kanonik ko‘rinishidan foydalaniladi.

Ikkinchi kanonik ko‘rinishga keltirish uchun quyidagicha yangi almashtirish kiritishga to‘g‘ri keladi:

, yoki , (2.11)

bunda va lar yangi o‘zgaruvchilar. Natijada biz ushbu tengliklarga ega bo‘lamiz:

, , (2.12)

Bundan (2.10) tenglama quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

(2.13)

bu yerda .

2. 
   Parabolik tenglamalar uchun bo‘lib, (2.8) va (2.9) tenglamalar ustma-ust tushadi va biz bitta umumiy integralga: ga ega bo‘lamiz. Bu holda , deb qabul qilamiz. Bu yerda funksiya funksiyaga bog‘liq bo‘lmagan ixtiyoriy funksiya. O‘zgaruvchilarni bunday qabul qilish natijasida
   

, chunki tenglik tenglikdan olinadi. Bundan esa quyidagi kelib chiqadi

(2.5) tenglamani oldidagi koeffitsientga bo‘lish natijasida, parabolik turdagi tenglamlarning kanonik ko‘rinishini keltirib chikaramiz:

(2.14)

bu yerda .

Agar (2.14) tenglamaning ung tomonida qatnashmasa, u holda bu tenglama parametrga bog‘liq oddiy differensial tenglama bo‘lib koladi.

3. 
   Elliptik turdagi tenglamalar uchun bo‘lib, (2.8) va (2.9) tenglamalarning ung tomoni kompleks bo‘ladi. Faraz qilamiz (2.8) tenglamaning kompleks integrali bo‘lsin. U holda funksiyaga kushma funksiya (2.9) kushma tenglamaning umumiy integralini ifodalaydi. Kompleks o‘zgaruvchilarga o‘tamiz,bu uchun faraz qilamiz,
   

, .

Bu holda elliptik turdagi tenglama giperbolik turdagi tenglama kaysi ko‘rinishga kelgan bo‘lsa usha ko‘rinishga keladi.

Kompleks o‘zgaruvchilar bilan ish kurmaslik uchun, quyidagi yangi va o‘zgaruvchilarni kiritamiz:

, , chunki , .

Bu holda

( va x.k. ekanligidan foydalanamiz)

ya’ni va .

(2.3) tenglamani oldidagi koeffitsientga bo‘lib quyidagi tenglamani olamiz:

(2.15)

bu yerda

Shunday qilib, ifodaning ishorasiga qarab (1.3) tenglama quyidagi kanonik ko‘rinishlarga keltirilishi mumkin ekan.

(giperbolik turda), yoki .

(elliptik turda), .

(parabolik turda) .