2-ma’ruza: vektor maydonning divergensiyasi, fizik ma'nosi, ostrogradskiy teoremasi. Solenoidal maydon. Vektor maydon uyurmasi (rotori) va uning xossalari. Vektor maydonning sirkulyasiyasi. Stoks teoremasi tadbiqlarni o’rganish reja

Ostrogradskiy teoremasi. yopiq sirt orqali oqim sirt bilan chegaralangan soha bo’yicha olingan biror uch karrali integral yordamida hisoblanishi mumkinligini ko’rsatamiz.

Teorema. Agar funksiyalar hajimli chegaralangan yopiq sohada o’zlarning birinchi tartibli xususiy hosilalarni bilan birgalikda uzluksiz bo’lsa,u holda

Formula o’rinli, bu yerda sohaning chegarasi, shu bilan birga oqim bu sirtning tashqi tomoni bo’yicha olinadi.(ya’ni birlik normal vektor hajmdan tashqari yo’nalgan).

(71) tenglik Ostrogradskiy formulasi deyiladi.

Isbot: Avval fazoda sirtlar hamda yasovchilari o’qqa parallel bo’lgsan

Silindrik sohani qaraymiz (13-rasm). silindrik sirtning yo’naltiruvchisi tekislik sohani chegaralab turgan egri chiziqdir. integralni topamiz. Uch karrali integralni hisoblash formulasiga asosan

So’ngra

b o’ladi. vektorning sirtning tashqi tomoni orqali oqimini, ya’ni ni qaraymiz. sirt tenglamasi ko’rinishda ekanligini hisobga olib,( 20-rasmga qarang) va (89-formuladan foydalanib),

(76)

Ni hosil qilamiz. oqimni sirtning pastki tomoni bo’yicha hisoblab quyidagini hosil qilamiz:

(77)

(72),(73) va (74) munosabatlarni e’tiborga olsak ,

(78)

ga bo’lamiz .(78) tenglikning o’ng tomoniga silindrik sirtning tashqi tomoni bo’yicha olingan integralni qo’shsak, bu tenglik o’zgarmaydi.Silidrik sirtning ixtiyoriy nuqtasi uchun bo’lgani sababi bu integral nolga teng.